请提出一些算法来在一棵树中找到所有节点中与最远节点的距离最小的节点。
它不是图表，也没有加权。
【问题讨论】：
标签： c++ algorithm data-structures
在树T中选择一个任意节点v。 运行 BFS，使 v 作为 T 的根。 BFS 输出从 v 到 T 的所有其他节点的距离。
现在选择一个离 v 最远的节点 u。 以 u 为根再次运行 BFS。 在新的距离输出中，找到距离 u 最远的节点 w。
考虑 u 和 w 之间的路径。 这是树中最长的路径T。 路径中间的节点是树T的中心。
请注意，一棵树中可能存在两个中心。如果是这样，他们就是邻居。
性能：O(n)，其中n是T的节点数。
声明：离some节点最远的叶子（u）位于最长的路径上.
如果我们证明它，那么该算法是正确的，因为它首先找到 u，并且由于它是最长路径的一端，因此使用 DFS 自己找到这条路径。
声明的证明：让我们使用 retucto ad absurdum。假设 u---r 是树中最长的路径；对于某些节点 v，v---u 和 v---r 都不是 v 的最长路径时间>。相反，最长的路径是v---k。我们有两种情况：
a) u---r 和 v--k 有一个公共节点 o。那么 v--o--u 和 v--o--r 比 u---o---k 短。那么 o---r 比 o---k 短。那么 u---o---r 不是图中最长的路径，因为 u---o---k 更长。这与我们的假设相矛盾。
b) u---r 和 v--k 没有公共节点。但是由于图是连通的，每条路径上都有节点o1和o2，使得它们之间的路径o1--o2这两条路径上不包含任何其他节点。与假设的矛盾点与 a) 点相同，但用 o1--o2 而不是单纯的 o（实际上是点 a 只是 b 的一个特例，其中 o1=o2)。
这证明了声明，因此证明了算法的正确性。
（这是Pavel Shved写的证明，原作者可能有更短的证明）。
【讨论】：
去除叶子。如果剩下超过 2 个节点，请重复。剩下的节点（或 2 个节点）将是您要查找的节点。
为什么会这样：
节点位于树中最长路径P 的中间。它们到任何节点的最大距离最多为路径长度的一半（否则它不会是最长的）。 P 上的任何其他节点显然比找到的节点与P 的另一端有更大的距离。任何不在P 上的节点n 将至少有其最远的节点（从n 到P 上最近的节点的距离，比如c）+（从c 到@ 的另一端的距离987654330@)，所以又比算法找到的节点多。
【讨论】：
您可以将Johnson's algorithm 用于稀疏图，否则请使用Floyd-Warshall algorithm，因为它实现起来很简单。
基本上你想找到每个节点到每个其他节点的距离，然后只是简单地搜索你想要的属性。
【讨论】：
您可以在每个节点上依次使用 Dijkstra 算法 (http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra%27s_algorithm)，以找到从该节点到其他每个节点的所有距离；扫描结果列表以获取到最远节点的距离。一旦你对每个节点都进行了 Dijkstra 扫描，另一次扫描将为你提供最大距离中的最小值。
Dijkstra 通常被认为具有运行时O(v^2)，其中 v 是节点数；您将在每个节点上运行一次，这将在幼稚的实现中将时间增加到O(v^3)。您可以通过存储早期节点的 Dijkstra 运行的结果并在以后的运行中将它们用作已知值来获得收益。
【讨论】：
正如其他人在 cmets 中所说： 树是一个图 - 准确地说是一个无向连接的无环图 - 请参阅 "Tree" (Graph theory)。
【讨论】：