在恒定时间内找到平均值和中位数

Question

这是一个常见的面试问题。 你有一个数字流进来（假设超过一百万）。数字在 [0-999] 之间）。

Implement a class which supports three methods in O(1) 

* insert(int i); 
* getMean(); 
* getMedian(); 

这是我的代码。

public class FindAverage {

  private int[] store;
  private long size;
  private long total;
  private int highestIndex;
  private int lowestIndex;

  public FindAverage() {
    store  = new int[1000];
    size = 0;
    total = 0;
    highestIndex = Integer.MIN_VALUE;
    lowestIndex = Integer.MAX_VALUE;

  }

  public void insert(int item) throws OutOfRangeException {
    if(item < 0 || item > 999){
      throw new OutOfRangeException();
    }
    store[item] ++;
    size ++;
    total += item;
    highestIndex = Integer.max(highestIndex, item);
    lowestIndex = Integer.min(lowestIndex, item);
  }

  public float getMean(){
    return (float)total/size;
  }

  public float getMedian(){

  }
}

我似乎想不出在 O(1) 时间内获得中位数的方法。 任何帮助表示赞赏。

Answer 1

您已经通过构建store 计数器完成了所有繁重的工作。加上size 值，就很简单了。

您只需开始迭代store，将计数相加，直到达到size 的一半。如果size 是奇数，那就是你的中值。即使是size，您也将获取两个周围的值并获得它们的平均值。

性能平均为O(1000/2)，这意味着O(1)，因为它不依赖于n，即性能不变即使n 达到数十亿。

请记住，O(1) 并不意味着即时，甚至是快速。正如Wikipedia 所说：

如果 T(n) 的值受一个不依赖于输入的大小。

在你的情况下，这个界限是 1000。

Answer 2

您可以读取的可能值非常有限 - 只有 1000。因此您可以考虑实现类似 counting sort 的东西 - 每次输入数字时，您都会增加该值的计数器。

要在恒定时间内实现中位数，您需要两个数字 - 中位数索引（即中位数的值）和您已读取且位于中位数左侧（或右侧）的值的数量.我将在这里停下来，希望您能够自己弄清楚如何继续。

编辑（如 cmets 中所指出的）：您已经拥有带有排序元素的数组（stored），并且您知道中位数左侧的元素数量（size/2）。您只需要将逻辑粘合在一起。我想指出，如果您使用线性附加内存，则无需在每次插入时遍历整个数组。

Answer 3

对于一般情况，元素的范围是无限的，这样的数据结构不存在基于任何基于比较的算法，因为它将允许O(n)排序.

证明：假设存在这样的 DS，让它成为D。
让A 成为排序的输入数组。 （假设A.size() 甚至为了简单起见，可以通过添加垃圾元素并稍后丢弃它来轻松放松）。

sort(A):
  ds = new D()
  for each x in A:
    ds.add(x)
  m1 = min(A) - 1
  m2 = max(A) + 1
  for (i=0; i < A.size(); i++):
    ds.add(m1)
  # at this point, ds.median() is smallest element in A
  for (i = 0; i < A.size(); i++):
    yield ds.median()
    # Each two insertions advances median by 1
    ds.add(m2)
    ds.add(m2)

声明 1：此算法在 O(n) 中运行。
证明：由于我们有 add() 和 median() 的常量操作，所以每次迭代它们都是O(1)，并且迭代次数是线性的——复杂度是线性的。

声明 2：输出已排序 (A)。
证明（准则）：插入n次m1后，中位数是A中最小的元素。每两次插入后它使中位数前移一项，并且由于前移是排序的，所以总输出是排序的。

由于上述算法在O(n)中排序，在比较模型下是不可能的，所以不存在这样的DS。

QED。