【发布时间】：2009-12-23 06:53:34
【问题描述】：
我需要一个通用公式来计算二叉树的最小高度和二叉树的最大高度。 （不是二叉搜索树）
【问题讨论】：
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你需要更具体。
标签： binary-tree
【发布时间】：2009-12-23 06:53:34
【问题描述】：
首先，计算机科学如何计算 树的高度，与离散数学中确定高度的方式 （图论），这可能是由于任一节点存在数据 （或顶点），而在数学中，它是一种纯理论方法。
所以也许你最好弄清楚你需要哪一个。
在离散数学中，树被归类为 m 叉树，所以 二叉树是二叉树。同样在任何给定的高度，可以有 最多 2^h = L（叶子）。这一点很重要，因为它证实了 根的高度为零，因此 2^0 = 1 叶...1 个顶点...根。
所以给定n个顶点，一棵树的高度由公式给出 n = 2^( h + 1 ) - 1
既然要找h，就得取两边的log2 公式 n = 2^( h + 1 ) - 1
对于一个完整的二叉树，最大高度是 log2(n + 1) = log2(2^(h + 1)) 这等于上限( log2( n + 1 ) - 1 ) = h
对于非满二叉树，最大高度 = ( n - 1 ) 因此，如果您有 n 个顶点，则必须减去根才能得到 最大高度，因为上面的公式 (2^h = L)
对于最小高度，根据上述规则推断。
【讨论】：
N - 节点数。
H - 二叉树的高度。
完全二叉树：
然后，与 H 高度 N 将介于：
2^H <= N <= (2^(H+1) - 1)
因此，解决了这个不等式；我们得到：
H <= lg(N) and H >= (lg(N+1) - 1)
因此我们最终得到：
H = floor( lg(N) ) = ceil( (lg(N+1) - 1) ) //as H is integer
(lg : 对数基数 2)
二叉树（不一定完整）：
Max height = N;
Min Height = floor( lg(N) ) = ceil( (lg(N+1) - 1) )
当二叉树完成时，我们得到最小高度。
【讨论】：
如果有 N 个元素，二叉树的最小高度将为 log2(N)+1。
对于完整的二叉树，最大高度为 N/2。
对于非满二叉树，最大高度为 N。
【讨论】：
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你怎么知道树是满的还是不满的？我知道最小高度被认为是平衡树。
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由于一棵完整的二叉树只能包含奇数个节点，因此最大树高的公式为（N+1）/2。
如果一个根可以有任意数量的叶子，最多为 2 (0,1,2)，那么：
- 最大高度为 n-1。当你的树只有一片叶子时就是这种情况。没有一个节点有多个分支。
- 最小高度是 [log2(n)]，其中 [x] 是 x 的整数部分。
为了获得最小高度，每个根必须有尽可能多的分支。在这种情况下，您会注意到对于 n=1，height=0 ；对于 n=2 到 n=3，高度=1；对于 n=4 到 n=7，高度=2 ；对于 n=8 到 n=15、高度=3 等。
因此，您可以注意到，对于每个 n，存在一个 p 使得：
2^p
【讨论】：
想想树的结构可以如何改变。
例如，如果树完全不平衡，那么这是最坏的情况——每个节点都只有一个子节点。在最好的情况下，树是完全平衡的，每个节点都有两个孩子。
既然这听起来像是家庭作业，我就把它留在那里。
【讨论】：
最大高度为 n，最小高度（即完美二叉树）为 (log base 2(n + 1)) - 1
【讨论】：
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最小高度来自公式 n=2^(h+1)-1 只需求解 h。
最小高度为 h=ceiling(log(n+1)/log(2) -1) 对于任何二叉树。
【讨论】：
给定 n 个节点：
最小高度：楼层(log2(n)) 假设您有 3 个节点：
root
left/ \right
floor(log2(3)) 将是 floor(1.58) == 1
root
left/ \right
left2/
将是 floor(log2(4)) 将是 floor(2) == 2
最大高度：N-1
根->left1->left2 这里 3 个节点的高度为 2。
【讨论】：
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这行不通。尝试找到最小的完整树，所有左树都只填充一个右孩子。
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我认为我的答案是完整的二叉树。
使用n-nodes，可能的最大高度为floor(log(n)) = ceil (log(n+1))-1。
对于n-nodes，可能的最小高度是n-1。
【讨论】：