在二进制字符串中查找最长的正子串

Question

假设我有一个类似100110001010001 的字符串。我想找到这样的子字符串：

• 尽可能长
• 总和>0

所以最长的子串，1 比 0 多。

例如，100110001010001 上面的字符串将是：[10011]000[101]000[1]

实际上找到它们的总长度是令人满意的，在这种情况下：9。

不幸的是，我不知道如何不以蛮力的方式完成。请问有什么想法吗？

Answer 1

正如现在发布的那样，您的问题似乎有点不清楚。 “尽可能长”的有效子字符串的总长度可能意味着不同的东西：例如，在其他选项中，它可能是（1）每个索引左侧的最长有效扩展列表（这将允许重叠在列表中），（2）最长的非重叠的左扩展组合，（3）非重叠的最长组合，有效子串（其中每个子串不一定是最长的）。

我将概述 (3) 的方法，因为它很容易转换为 (1) 或 (2)。可以在O(n log n) 时间和O(n) 额外空间中从每个索引中找到最长的左扩展，其中一个多于零的时间（对于O(n) 时间中最长的有效子字符串，请参见此处：Finding the longest non-negative sub array）。通过该预处理，可以通过动态编程在经过一定程度优化的O(n^2) 时间和O(n) 额外空间中找到最长的有效、非重叠子字符串组合。

我们首先遍历字符串，存储表示部分和的和，直到 s[i] 并包括在内，将零计数为 -1。我们将每个部分和插入到二叉树中，其中每个节点还存储值出现的索引数组，以及小于节点值的值的最左侧索引。 （如果 b 的前缀总和大于 a 的前缀总和，则从 s[a] 到 s[b] 的子字符串的 1 多于 0。）如果值已经在树中，我们添加节点索引数组的索引。

由于我们是从左到右遍历的，只有当一个新的最小值被插入到树中时，才会更新最左边的低值索引——并且它只针对具有先前最小值的节点进行更新。这是因为任何具有较低值的节点都不需要更新；如果树中已经有任何具有较低值的节点，则任何具有较高值的​​节点都已经存储了最早插入的节点的索引。

每个索引左侧的最长有效子字符串扩展到前缀和较低的最左侧索引，可以很容易地在树中查找。

为了得到最长的组合，让f(i) 代表最长的组合直到索引i。那么f(i) 等于添加到f(j-1) 的索引j 的每个有效左扩展的最大长度。

Answer 2

动态编程。

我们有一个字符串。如果是肯定的，这就是我们的答案。否则，我们需要修剪每一端，直到它变为正数，并找到每种修剪模式。因此，对于每个长度（N-1、N-2、N-3）等，我们都有 N 长度的可能路径（从 a 修剪，从 b 修剪），每一个都给我们一个状态。当状态变为正时，我们发现了子字符串。

所以两个整数列表，表示如果我们完全从 a 或完全从 b 修剪会发生什么。然后回溯。如果我们从 a 中剪掉 1，我们必须从 b 中剪掉所有其余部分，如果我们从 a 中剪掉 2，我们必须从 b 中剪掉一个。有没有一个答案可以让我们变得积极？

我们可以快速消除，因为答案必须是最大值，要么从 a 进行最大修剪，要么从 b 进行最大修剪。如果其他修剪让我们变得积极，那就是结果。

伪代码：

N = length(string);
Nones = countones(string);
Nzeros = N - Nones;
if(Nones > Nzeroes)
   return string

vector<int> cuta;
vector<int> cutb;
int besta = Nones - Nzeros;
int bestb = Nones - Nzeros;

cuta.push_back(besta);
cutb.push_back(bestb);
bestia = 0;
bestib = 0;

for(i=0;i<N;i++)
{
   cuta.push_back( string[i] == 1 ? cuta.back() - 1 : cuta.back() +1);
   cutb.push_back( string[N-i-1] == 1 ? cutb.back() -1 : cutb.back()+1);

   if(cuta.back() > besta)
   {
      besta = cuta.back();
      bestia = i;
   }
  if(cutb.back() > bestb)
  {
    bestb = cutb.back();
    bestib = i;
  }

   // checks, is a cut from wholly from a or b going to send us positive
   if(besta == 1)
      answer = substring(string, bestia, N);
   if(bestb == 1)
      answer = substring(string, 0, N - bestib);

   // if not, is a combined cut from current position to the
   // the peak in the other distribution going to send us positive?
   if(Nones - Nzeros + besta + cutb.back() == 1)
  {
     answer = substring(string, bestai, N - i);
  }
  if(Nones - Nzeros + cuta.back() + bestb == 1)
  {
      answer = substring(string, i, N - bestbi);
  }

}
/*if we get here the string was all zeros and no positive substring */

这是未经测试的，最后的检查有点繁琐，我可能有 在某处出错，但算法应该或多或少地工作 如前所述。