在间隔列表中搜索间隔重叠？答案

【问题标题】：search for interval overlap in list of intervals?在间隔列表中搜索间隔重叠？
【发布时间】：2010-12-15 02:06:42
【问题描述】：

说[a,b]表示从a到b的实线上的区间，a

给定一个区间列表 ([x1,y1],[x2,y2],...)，找到所有与 [x,y] 重叠的区间的最有效方法是什么？

显然，我可以尝试每一个并在 O(n) 中得到它。但是我想知道是否可以以某种巧妙的方式对间隔列表进行排序，我可以通过二进制搜索在 O(log N) 中找到 /one/ 重叠项，然后从列表中的该位置“环顾四周”以找到所有重叠的间隔。但是，我如何对间隔进行排序以使这种策略有效？

请注意，列表项本身的元素之间可能存在重叠，这使得这很困难。

我已经尝试通过按左端、右端、中间对间隔进行排序，但似乎没有一个会导致详尽的搜索。

帮助？

【问题讨论】：

+1，因为它让我的工作日更加有趣。

标签： algorithm

【解决方案1】：

为了完整起见，我想补充一点，对于这类问题，有一个众所周知的数据结构，称为interval tree。它基本上是一个增强的平衡树（红黑，AVL，你的选择），存储按左（低）端点排序的间隔。增强是每个节点在其子树中存储最大的右（高）端点。这棵树允许您在 O(log n) 时间内找到所有重叠的时间间隔。

在 CLRS 14.3 中有描述。

【讨论】：

【解决方案2】：

[a, b] 与 [x, y] 重叠当且仅当 b > x 和 a

【讨论】：

交叉路口不会花费 O(n) 时间吗？如果列表有 N 个元素长，则与列表中的“相似大小”的查询间隔将在第一个列表中产生 m 个匹配项，在第二个列表中产生最多 N-m 个匹配项，并且获取交集将需要遍历所有 N 个元素，不会吗？
它需要 O（与条件匹配的较小项目列表的大小）。如果所有区间的一小部分匹配，比如 f(N)，则需要 O(f(N))。我认为会是这种情况——否则我认为任何策略都大约是 O(N)。
这不是最好的答案；您在此处描述的内容属于此页面上的“幼稚方法”：en.wikipedia.org/wiki/Interval_tree。事实上，另一个更正确的答案建议研究区间树。
重叠检测条件需要>=和
@max：遍历较小的集合；对于每个元素，检查它是否在更大的集合中（使用诸如哈希表之类的常量成员查询）。

【解决方案3】：

'quadtree'是一种常用于提高二维碰撞检测效率的数据结构。

我认为您可以提出类似的一维结构。这需要一些预先计算，但应该会导致 O(log N) 的性能。

基本上，您从覆盖所有可能间隔的根“节点”开始，当向树添加节点时，您决定它是落在中点的左侧还是右侧。如果它越过中点，则将其分成两个间隔（但记录原始父级）并从那里递归地继续。您可以设置树的深度限制，这可以节省内存并提高性能，但代价是使事情变得稍微复杂（您需要在节点中存储间隔列表）。

然后在检查间隔时，您基本上会找到它插入时将插入的所有叶节点，检查这些节点内的部分间隔是否相交，然后将记录的间隔报告为“原始”父母。

【讨论】：

这种类似的结构，奇怪的是，被称为二叉树。
@Nick Wiggill - 当然，它是一种二叉树，但二叉树有很多用途，我描述的算法更详细一些。

【解决方案4】：

可以这么说，只是“即兴发挥”的快速思考。

您能否将它们组织成 2 个列表，一个用于间隔开始，另一个用于间隔结束。

这样，您可以将 y 与区间列表开头的项目进行比较（例如通过二分搜索），以根据此减少候选者。

然后您可以将 x 与间隔列表末尾的项目进行比较。

编辑

案例：一次性

如果您在一次性情况下仅将单个区间与区间列表进行比较，我认为排序不会对您有所帮助since ideal sorting is O(n)。

通过对所有 x 进行线性搜索以删除任何不可能的间隔，然后对剩余的 y 进行另一次线性搜索，您可以减少总工作量。虽然这仍然是 O(n)，但如果没有这个，您将进行 2n 次比较，而平均而言，您只能以这种方式进行 (3n-1)/2 次比较。

我相信对于未排序的列表，这是您能做的最好的事情。

案例：预分拣不算数

如果您将重复比较单个区间与此区间列表并预先对列表进行排序，您可以获得更好的结果。上面的过程仍然适用，但是通过对第一个列表然后第二个列表进行二进制搜索，您可以获得 O(m log n) 而不是 O(mn)，其中 m 是被比较的单个间隔的数量。请注意，仍然可以为您提供减少总比较的优势。 [2m log n 与 m(3(log n) - 1)/2]

【讨论】：

您在答案顶部的初步建议属于此页面上的“幼稚方法”：en.wikipedia.org/wiki/Interval_tree。

【解决方案5】：

您可以同时按左端和右端排序，并使用这两个列表来消除不重叠的值。如果列表按左端排序，则测试范围右端右侧的任何间隔都不能重叠。如果列表按右端排序，则测试范围左端左侧的任何区间都不能重叠。

例如，如果间隔是

[1,4], [3,6], [4,5], [2,8], [5,7], [1,2], [2,2.5]

并且您发现与[3,4] 重叠，然后按左端排序并标记测试右端的位置（右端刚好大于其值，因此4 包含在范围内）

[1,4], [1,2], [2,2.5], [2,8], [3,6], [4,5], *, [5,7]

你知道[5,7]不能重叠，然后按测试的右端和左端标记位置排序

[1,2], [2,2.5], *, [1,4], [4,5], [3,6], [5,7], [2,8]

你知道[1,2] 和[2,2.5] 不能重叠

不确定这会有多有效，因为您必须进行两种排序和搜索。

【讨论】：

【解决方案6】：

正如您在其他答案中所见，大多数算法都带有特殊的数据结构。例如，对于未排序的间隔列表作为输入 O(n) 是最好的。（而且通常根据决定算法的数据结构来考虑更容易）。

在这种情况下，您的问题并不完整：

是你给出了整个列表还是你实际创建了它？
您必须执行一次这样的查找还是执行多次？
您对它应该支持的操作及其频率有任何估计吗？

例如，如果您只需要执行一次这样的查找，那么之前对列表进行排序是不值得的。如果很多，那么“一维四叉树”的更昂贵的排序或生成将被摊销。

但是，解决它会很困难，因为一个简单的四叉树（据我所知）只能检测到碰撞，但它无法创建与您的输入重叠的所有段的列表。

一个简单的实现是一个有序（按坐标）列表，您可以在其中插入所有以标志开始/结束和段号结尾的段。通过这种方式，通过解析它（仍然是 O(n)，但如果您还需要所有重叠段的列表，我怀疑您是否可以使其更快），并跟踪所有未关闭的打开段“检查点”。

【讨论】：