C ++中的减法双倍[关闭]

Question

我正在做一项家庭作业，我需要使用 McLaurin 系列来评估 cosh(x) 和 sin(x)。每次程序运行时，用户输入一个从 0 到 10 的数字来指定要评估系列的项数。然后，用户输入 x 的值以进行评估。一旦用户点击输入，将计算并打印出该系列的 10 个增量。此外，我还必须找到确切的错误。为此，我为 sinh 和 cosh 创建了几个不同的函数，用于执行特定项的计算。例如：下面的代码将术语评估为 10!。

void cosFunction10(double power, double value)
{
     double cosh_x = 0;
     double math_cosh = 0;
     double exact_error;
     double x;

     if (value < 0)
         x = -0.1*0;

     for (int i = 0; i < 11; ++i)
     {
         cosh_x = (1.0 + ((x*x)/(2.0*1.0)) + ((x*x*x*x)/(4.0*3.0*2.0*1.0)) + ((x*x*x*x*x*x)/(6.0*5.0*4.0*3.0*2.0*1.0)) + ((x*x*x*x*x*x*x*x)/(8.0*7.0*6.0*5.0*4.0*3.0*2.0*1.0)) + ((x*x*x*x*x*x*x*x*x*x)/(10.0*9.0*8.0*7.0*6.0*5.0*4.0*3.0*2.0*1.0)));
         math_cosh = cosh(x);
         exact_error = (math_cosh - cosh_x);

         cout << setiosflags(ios::scientific) << setprecision(3) << x << "\t";
         cout << setiosflags(ios::scientific) << setprecision(5) << cosh_x << "\t";
         cout << math_cosh << "\t";
         cout << exact_error << endl;
         x = x + (0.1*value);
     }
 }

如果我运行程序并输入以下值：10（第 n 项）和 -6（x 的值）。

这是我应该得到的： （第二个增量）

 x                Series            Exact (using the cmath functions)    Exact % Error
 -6.000e-001      1.18547e+000      1.18547e+000                        0.00000e+000

接下来的 2 个输出对于确切的错误将是相同的，直到我到达第 4 个增量

 x                Series            Exact (using the cmath functions)    Exact % Error
 -1.800e+100      3.10747e+000      3.10747e+000                        -7.67243e-005

当我运行我的代码时，我没有得到上述结果： （第二个增量）

 x                Series            Exact (using the cmath functions)    Exact % Error
-6.000e-001      1.18547e+000      1.18547e+000                         4.55325e-012

所以似乎出了点问题，因为我的确切错误与我得到的错误甚至不一样。我知道可能会有稍微不同的值，这是预期的，但不会达到这个程度。

任何建议将不胜感激，

谢谢

Answer 1

一定会有这样的区别，因为cosh(x) 是根据下面给出的公式以不同的方式定义的：

请参阅here 了解更多详情。

但是，如果您基于 MacLaurin 级数的计算来计算金额，那么问题在于您没有以正确的方式累积值。下面的实现可能是你真正需要的：

void cosFunction(double x)
{
    double cosh_x = 1;
    double math_cosh;
    double exact_error;
    double factorial = 1;
    double x_pow = 1;

    for (int i = 0; i < 11; ++i) {
            cosh_x = x_pow/factorial;
            x_pow = x*x*x_pow; 
            factorial = factorial* (2 * i + 1) * (2 * i + 2);
    }

    math_cosh = cosh(x);
    exact_error = (math_cosh - cosh_x);
    cout << setiosflags(ios::scientific) << setprecision(5) << exact_error << endl;

}

Answer 2

正如 cmets 所揭示的，您得到的误差实际上非常小，小于 10^-11。此外，您必须考虑到您计算 cosh 的方式与内置函数完成的方式并不完全相同。这两种方法最终都是近似值，但它们的工作方式不同，因此它们产生的舍入误差和近似误差会略有不同。

你不能期望错误是“flat 0”。

Answer 3

在数学意义上，正确答案可能是零。但在实际计算意义上，它不会是零：

想象一下，如果您使用固定的十进制精度进行算术运算，比如 8 位。您可以将1.0/3.0 表示为.33333333。但这会使3.0 * (1.0/3.0) 变成3.0 * .33333333，即.999999999。因此，虽然在数学意义上，1.0 - (3.0 * (1.0 / 3.0)) 应该为零，并且具有固定的小数精度，但您很可能会得到类似 .00000001 的东西。

相同的规则适用于固定二进制精度，这是您使用double 时得到的。

Answer 4

//Part of the problem is that in the line after the 'for' nothing changes (typo?.) The
//following works for x = 0.5`
//Note that the loop works properly for all terms including the first which is 1.0

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;

int factorial(int n)
{
    return (n == 1 || n == 0) ? 1 : factorial(n - 1) * n;
}

int main()
{
    // use taylor series to approximate cosh(x) - use 7 terms
    double x = 0.5;
    double top, bot;
    double s = 0.0;

    for (int i = 0; i < 7; i++)
    {
        top = pow(x,double(i)*2.0);
        bot = double(factorial(i*2));
        s  += (top / bot);
    }
    cout << "myCosh     " << s << endl;
    cout << "cosh       " << cosh(x)<< endl;
    cout << "difference " << fabs(s - cosh(x)) << endl;
    return 0;
}

Answer 5

我使用cout 操作运行您的函数，修改如下：

cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(12);
cout << "for x="<<x<<": "<<math_cosh<<" - "<<cosh_x<<" = "<<exact_error<<"\n";

我为value 选择了我自己的值，因为您没有说明您使用的是什么。

我得到以下结果，这表明math_cosh 和cosh_x 不相同。您的问题似乎是您没有看到足够的数字来注意到它们是不同的。

for x=0.003233200000: 1.000005226796 - 1.000005226791 = 0.000000000005
for x=0.006466400000: 1.000020907237 - 1.000020907164 = 0.000000000073
for x=0.009699600000: 1.000047041489 - 1.000047041120 = 0.000000000369
for x=0.012932800000: 1.000083629824 - 1.000083628658 = 0.000000001166
for x=0.016166000000: 1.000130672624 - 1.000130669778 = 0.000000002846
for x=0.019399200000: 1.000188170381 - 1.000188164480 = 0.000000005901
for x=0.022632400000: 1.000256123697 - 1.000256112765 = 0.000000010932
for x=0.025865600000: 1.000334533282 - 1.000334514632 = 0.000000018650
for x=0.029098800000: 1.000423399955 - 1.000423370081 = 0.000000029875
for x=0.032332000000: 1.000522724646 - 1.000522679112 = 0.000000045534
for x=0.035565200000: 1.000632508392 - 1.000632441726 = 0.000000066667

关于家庭作业，使用麦克劳林级数计算 cosh(x)：你的函数，如所写，不是很精确，因为它只计算系列 1 + 0 + x*x/2 的前三个项。您不是在计算 x^n 或 n！超过 n=2。要生成更精确的结果，您需要积累更多的系列术语 - 如下所示...

int NUMBER_OF_TERMS=10; // the number of terms to compute (including zero terms)
for ( int i=0; i<NUMBER_OF_TERMS; i++ )
   {
   cosh_x += (i%2==0?1:0)*term; // even derivatives are 1, odd derivatives are 0
   term *= x/(i+1); // apply incremental power and factorial
   }

这仍然不能保证准确性。由于舍入误差，您无法确保完全匹配内置函数 cosh(x) ，除非您完全复制其算法。这两个函数只会产生一个近似值，因为对于大多数输入值，纯数学输出将是一个超越数——而这样的数字不能在 double 中精确表示。

您还应该记住，麦克劳林级数是基于多项式的近似值，在 x=0 附近最准确。正如多项式的本质一样，不完整的求和最终可能（随着 x 远离 0）与正确答案非常迅速地偏离。这就是为什么在上面的示例输出中，x 的值越小，错误值就越小。

---

关于科学记数法与定点精度：

科学记数法向您显示数字的最重要的非零数字 - 即使这些数字从小数点右侧的 12 位开始。阅读科学记数法时，请务必注意e 之后的信息，因为这描述了数字的真实大小。 double-precision 值可以存储大约 20 位十进制数字的真实信息。这对于进行多次重复计算很有用，但在比较两个数字是否相等时通常意义不大。

尽管这可能不在您的任务范围内，但您可以做的是限制差异的定点精度。以下是您可以如何执行此操作的示例：

const double PRECISION=1e-4; // indicates the number of fractional digits to keep
exact_error = round(exact_error/PRECISION)*PRECISION; // limit precision

...或者只检查接近零的情况可能更简单...

if ( fabs(exact_error)<PRECISION/2 ) exact_error = 0; // close enough to zero