while 循环会执行多少次？

Question

我想知道这个 while 循环会执行多少次。这是一个使用 XOR 和 AND 将两个数字相加的函数。

def Add(x, y): 

    # Iterate till there is no carry  
    while (y != 0): 

        # carry now contains common 
        # set bits of x and y 
        carry = x & y 

        # Sum of bits of x and y where at 
        # least one of the bits is not set 
        x = x ^ y 

        # Carry is shifted by one so that    
        # adding it to x gives the required sum 
        y = carry << 1

    return x 
``

Answer 1

无进位加法器的算法：

function no_carry_adder(A,B)
    while B != 0:
        X = A XOR B, Bitwise-XOR of A,B.
        Y = A AND B, Bitwise-AND of A,B.
        A = X
        B = Y << 1, Multiplying Y by 2.
    return A

如您所见，while 循环一次又一次地执行这四个指令，直到B = 0，当B = 0 时，存储在A 中的二进制数就是答案。 现在的问题是找出在B = 0 或B 变为零之前while 循环将执行多少次。

如果我采用了天真的方式，即按照任何编程语言描述的方式编写算法，例如它会给我一个答案，但如果二进制字符串 A 中的位数和B 是 > 500。

如何制定更快的算法？ 我们来看看不同的案例，

• 案例1：当A = B = 0.
  在这种情况下，循环将 = 0 迭代为 B = 0 的次数。
• 案例 2： 当A != 0 和B = 0。
  在这种情况下，循环将= 0 迭代为B = 0 的次数也是如此。
• 案例 3： 当A = 0 和B != 0。
  在这种情况下，循环迭代 = 1 的次数是因为在第一次迭代之后，X = B 的值就像你用 0 对任何二进制数执行 bitwise XOR 时一样，结果就是数字本身。 Y = 0 的值，因为任何带有0 的数字的bitwise AND 都是0。所以，你可以看到Y = 0，然后是B = 0 和Y << 1 = 0。
• 案例4：当A = B和A != 0和B != 0时。
  在这种情况下，循环迭代= 2 的次数，因为在第一次迭代中A = 0 的值，为什么因为两个相同数字的bitwise XOR 总是0 和Y = B 的值，因为bitwise AND 的两个相同的数字是数字本身，然后是 B = Y << 1，在第一次迭代之后，A = 0 和 B != 0 所以这种情况变成 Case-3。因此，迭代次数将始终为2。
• 案例 5： 当 A != B 和 A != 0 和 B != 0。
  在这种情况下，循环迭代 = length of the longest carry-chain 的次数。

计算最长进位链长度的算法：

• 首先使二进制字符串A 和B 的长度相等，如果它们不相等。

• 我们知道最大进位序列的长度就是答案，我只需要找到我到目前为止发生的最大进位序列长度。因此，要计算它，

• 我将从左到右迭代，即 LSB 到 MSB 并且：

  • if carry + A[i] + B[i] == 2 表示该位标记进位序列的开始，因此 ++curr_carry_sequence 和 carry = 1。
  • if carry + A[i] + B[i] == 3 表示前一位加法转发的进位在这里被消耗，该位将产生一个新的进位，因此，进位序列的长度将重置为 1，即curr_carry_sequence = 1 和carry = 1。
  • if carry + A[i] + B[i] == 1 or 0 表示前一位产生的进位在这里解析，它会标记进位序列的结束，因此进位序列的长度将重置为0。即curr_carry_sequence = 0和carry = 0。

• 现在如果curr_carry_seq 的长度是> 而不是max_carry_sequence，那么你更新max_carry_sequence。

• 答案是max_carry_sequence + 1。

源代码参考No Carry Adder Solution。

附： No-Carry Adder 的平均情况分析可以参考论文：Average Case Analysis of No Carry Adder: Addition in log(n) + O(1)Steps on Average: A Simple Analysis。

Answer 2

while 循环执行多少次没有固定答案。当从一个位置到另一个位置有进位时，总是执行 while 循环。因此，您需要知道数字在二进制中的样子。但是你可以肯定地说，最大可能的执行次数是多少。它是较大数字的长度为位+ 1。为什么？因为如果这是进位可以最大发生的数字。让我们以 add(1,7) = 8 (001 + 111 = 1000) 为例。第一个位的进位被传递到第二个位置，然后传递到第三个位置，然后传递到第四个位置。 4 次迭代 this 等价于 7 和 that + 1 = 4 的长度。