3D 凸多边形中的点位置答案

【问题标题】：Point location in 3D convex polyhydron3D 凸多边形中的点位置
【发布时间】：2017-02-08 00:09:36
【问题描述】：

令 P 为具有 n 个顶点的 3D 凸多面体。
1. 给定一个以任意点 q 作为输入的算法，如何在 O(n) 时间内确定 q 是在凸多面体内部还是外部？
2.我可以做一些处理使其成为O(logn)吗？

【问题讨论】：

我想大多数算法的时间都与面数有关，而不是顶点数。你有面孔吗？它们是如何定义的？

【解决方案1】：

对于 (1)，如果你有一个具有 n 个顶点的凸多面体，那么你也有 O(n) 个面。一个人可以对每个面进行三角测量，总的来说它仍然是 O(n) 个三角形。现在取查询点 q 并检查三角形 q 位于哪一侧。此检查对一个三角形采用 O(1)，因此对所有三角形采用 O(n)。编辑： O(n) 面定义 O(n) 平面。只需检查所有平面的 q 是否位于同一侧。

对于（2），（我没有找到来源，但似乎合理）可以将多面体 P 作为 P' 投影到平面上。 P' 可以看作是两个独立的平面图，一个图 U' 表示多面体的上部，第二个图 L' 表示下部。 L' 和 U' 总共有 O(n) 个面。现在可以通过Kirkpatrick optimal planar subdivision 算法对 L' 和 U' 进行预处理。（其他来源：1 和 2）这可以在 PSLG（平面直线图）检查中启用 O(log n) 点。

现在使用查询点 q 并将其投影到具有相同投影的同一平面上，可以在 O(log n) 时间内查找 L' 和 U' 的面。在 3D 中，每个面正好位于一个平面上。现在我们检查 q 在 3D 中的哪一侧，并知道 q 是否在多面体内部。

【讨论】：

如何检查三角形q在哪一边？
如编辑中所述：多面体的三角形或面恰好位于一个平面上。只需检查平面 q 位于哪一侧。正如计算带符号的点到平面的距离一样，符号已经为您提供了边。如果你想检查三角形。一些确定的人应该可以解决问题。

【解决方案2】：

(2) 的另一种方法是将多面体空间细分为 slubs - 以多面体质心为顶点并以多面体面为底面的金字塔。此类平板的数量为O(n)。您可以构建一个二元空间分区树 (BSP)，由这些 slub（可能分为子 slub）组成 - 如果它是平衡的，那么点位置将在 O(logn) 时间工作。

当然，如果你需要多次调用点定位函数，这将是有道理的——因为这里的预处理步骤将花费O(n)时间（或更多）。

【讨论】：

如果考虑质心的方向，它们由两个角度描述。你如何对两个参数进行排序？如何排列二叉搜索树？
@YvesDaoust - 我不想详细说明，因为这是众所周知的方法，请参阅 Wiki 文章，例如：en.wikipedia.org/wiki/Binary_space_partitioning。此外，OP 可以使用现有的库而不是发明自行车 - CGAL 和其他。这就是为什么我的回答如此简短
二叉搜索树和二叉空间分区树是两个非常不同的东西。您的文字具有误导性。我不理解是对的。