SymPy 是否正确解决了这个 ODE？答案

【问题标题】：Is SymPy correctly solving this ODE?SymPy 是否正确解决了这个 ODE？
【发布时间】：2019-08-27 16:25:03
【问题描述】：

我正在使用 Anaconda 包中的 SymPy 1.4 来评估该工具。我有以下 ODE 需要解决：

使用 SymPy 时，我有以下代码和结果：

import sympy as sp
x=sp.Symbol('x')
y=sp.Function('y')(x)
diffeq=sp.Eq(sp.diff(y,x), (5*x**2-x*y+y**2)/x**2)
sp.dsolve(diffeq,y)

如果我在线使用 WolframAlpha，我会得到：

这是软件中的错误吗？如果有，我在哪里可以举报？

【问题讨论】：

标签： python wolfram-mathematica sympy symbolic-math differential-equations

【解决方案1】：

我认为这些只是不同的形式，但代表了同一组解决方案（尽管可能针对不同的积分常数值）。您可以使用 checkodesol 函数在 SymPy 中验证 ODE 的解决方案：

In [9]: import sympy as sp 
   ...: x=sp.Symbol('x') 
   ...: y=sp.Function('y')(x) 
   ...: diffeq=sp.Eq(sp.diff(y,x), (5*x**2-x*y+y**2)/x**2) 
   ...: sol = sp.dsolve(diffeq,y)

In [10]: sol
Out[10]: 
                 5⋅x          
y(x) = ───────────────────────
            ⎛        ⎛ 2⎞⎞    
       2⋅tan⎝C₁ - log⎝x ⎠⎠ + 1

In [11]: checkodesol(diffeq, sol)
Out[11]: (True, 0)

您还可以使用不同的方法来求解 ODE，例如此方法给出与 Wolfram 相同的形式：

In [12]: dsolve(diffeq, hint='separable_reduced')
Out[12]: y(x) = x⋅(2⋅tan(C₁ + 2⋅log(x)) + 1)

您可以使用classify_ode查看可能的方法列表：

In [5]: classify_ode(diffeq)
Out[5]: 
('1st_homogeneous_coeff_best',
 '1st_homogeneous_coeff_subs_indep_div_dep',
 '1st_homogeneous_coeff_subs_dep_div_indep',
 'separable_reduced',
 'lie_group',
 '1st_homogeneous_coeff_subs_indep_div_dep_Integral',
 '1st_homogeneous_coeff_subs_dep_div_indep_Integral',
 'separable_reduced_Integral')

如果您确实想报告 SymPy 中的错误，您会在 GitHub 上打开一个问题，尽管我不认为这是一个错误： https://github.com/sympy/sympy/issues

【讨论】：

【解决方案2】：

长注释：这也可以被视为 Riccati DE，其中一个具有解决方案参数化y(x) = -x^2*u'(x)/u(x)。插入这个

u(x)*y'(x) = -x^2*u''(x) + x^2*u'(x)^2/u(x) - 2*x*u'(x)
             = (5*x^2*u(x) + x^3*u'(x) + x^4*u'(x)^2/u(x)) / x^2

然后给出二阶线性DE

0 = x^2*u''(x) + 3*x*u'(x) + 5*u(x)

这是具有特征多项式0=m*(m-1)+3*m+5=(m+1)^2+4 的 Euler-Cauchy DE。然后，这给出了一般解决方案

 u(x) = A*x^(-1)*cos(2*log(x))+B*x^(-1)*sin(2*log(x))

根据您将参数对 (A,B) 减少为表达式中的一个参数的方式

            (A-2*B)*cos(2*log(x)) + (2*A+B)*sin(2*log(x))
y(x) = x * -----------------------------------------------
                  A*cos(2*log(x)) + B*sin(2*log(x))

然后你如何从中构造一个相移参数，你可以得到解决方案的许多表达式。

【讨论】：