MaxStepSize, MaxSteps 似乎对 MATHEMATICA 中的 NDSolve 没有影响

Question

我是mathematica的新手，所以请多多包涵！

我正在尝试使用 NDSolve 在 mma 中求解非线性 PDE。由于在模拟时间用完之前就出现了奇点，因此求解过程被缩短了。我意识到拥有这种奇点的刚性系统可以通过减小步长来处理（至少通过蛮力）。

但是“MaxSteps”或“MaxStepSize”似乎对我的代码没有明显的影响。

什么给了？我可能会遗漏任何其他方法吗？

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代码：

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Needs["VectorAnalysis`"]
Needs["DifferentialEquations`InterpolatingFunctionAnatomy`"];
Clear[Eq4, EvapThickFilm, h, S, G, E1, K1, D1, VR, M, R]
Eq4[h_, {S_, G_, E1_, K1_, D1_, VR_, M_, R_}] := \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]h\) + 
    Div[-h^3 G Grad[h] + 
      h^3 S Grad[Laplacian[h]] + (VR E1^2 h^3)/(D1 (h + K1)^3)
        Grad[h] + M (h/(1 + h))^2 Grad[h]] + E1/(
    h + K1) + (R/6) D[D[(h^2/(1 + h)), x] h^3, x] == 0;
SetCoordinates[Cartesian[x, y, z]];
EvapThickFilm[S_, G_, E1_, K1_, D1_, VR_, M_, R_] := 
  Eq4[h[x, y, t], {S, G, E1, K1, D1, VR, M, R}];
TraditionalForm[EvapThickFilm[S, G, E1, K1, D1, VR, M, R]];



L = 318; TMax = 7.0;
Off[NDSolve::mxsst];
Clear[Kvar];
Kvar[t_] :=  Piecewise[{{0.01, t <= 4}, {0.05, t > 4}}]
(*Ktemp = Array[0.001+0.001#^2&,13]*)
hSol = h /. NDSolve[{
     (*S,G,E,K,D,VR,M*)

     EvapThickFilm[1, 3, 0.1, Kvar[t], 0.01, 0.1, 0, 160],
     h[0, y, t] == h[L, y, t],
     h[x, 0, t] == h[x, L, t],
     (*h[x,y,0] == 1.1+Cos[x] Sin[2y] *)
     h[x, y, 0] == 
      1 + (-0.25 Cos[2 \[Pi] x/L] - 0.25 Sin[2 \[Pi] x/L]) Cos[
         2 \[Pi] y/L]
     },
    h,
    {x, 0, L},
    {y, 0, L},
    {t, 0, TMax}
    ][[1]]

错误信息：

NDSolve::ndsz: 在 t == 2.366570254802048`，步长实际上为零；怀疑是奇点或僵硬系统。 >>

NDSolve::eerr: 警告：571455.5042645375at t = 2.366570254802048 在自变量 x 方向上的缩放局部空间误差估计值远大于规定的误差容限。具有 19 个点的网格间距可能太大而无法达到所需的准确度或精度。可能已形成奇点，或者您可能希望使用 MaxStepSize 或 MinPoints 方法选项指定更小的网格间距。 >>

Answer 1

如果您遇到“没有更多可用内存”的问题，解决方案取决于导致内存不足的原因。例如，我曾经必须运行一个模拟，需要我计算一个大体积的 3D 磁场，正如您可能想象的那样，不仅我需要很长时间来计算它，而且计算它也是不切实际的每次我必须模拟穿过它的粒子。为了避免内存问题并使程序计算量更轻，我决定将磁场数据写入文本文件。一个简单的 csv 文件样式，其中网格中每个空间点的 B 场向量起到了作用......

所以，我的建议是，如果由于计算大量数据而导致内存不足，则应将其流式传输到文件中，然后在程序的下一步读取文件...我希望这种技术有帮助;)

Answer 2

试着让你的代码中的 TMax 更小，比如 2 或 1。

这将消除错误。我发现如果我使用更小的时间跨度来解决，我可以得到更准确的结果（更高的AccuracyGoal ->），我也可以使用MaxSteps -> Infinity。

诀窍是当前 NDSolve 调用的开始时间不必与初始条件时间相同。开始时间可以远离初始条件。

来自帮助

The point Subscript[x, 0] that appears in the initial or boundary conditions 
need not lie in the range Subscript[x, min] to Subscript[x, max] over which 
the solution is sought. 

这样，可以多次调用 NDSolve，每次调用的时间跨度更小，而每次调用时始终使用相同的初始条件。但作为交换，所做的每一步，都可以做得更准确。我发现调用 NDSolve 非常快，而且对性能没有任何影响。

即将 NDSolve 时间规范更改为 {from,to} 与 {0,TMax}，其中 from 和 to 每次都以较小的值前进，因此它们之间的距离仍然很小。 （您需要添加小的逻辑代码来执行此操作），直到您覆盖了您有兴趣解决的整个时间范围。

所以，试着改变你的求解器来解决更小的步骤，我认为你会得到更好的结果。

另外，请尝试在 NDSolver 的选项中使用 Method -> {"StiffnessSwitching"}，因为 Mathematica 说它是刚性系统。