在 Mathematica 中优化内循环计算

Question

我目前正在 Mathematica 中进行一些与量子力学相关的计算。随着我们从 1D 转移到 2D 晶格模型，问题的大小变得有问题

目前，我们有一个看起来像这样的总结：

corr[r1_, r2_, i_, j_] = Sum[Cos[f[x1, x2] Angle[i] r1 + f[y1, y2] Angle[j] r2], {x1, HL}, {x2, HL}, {y1, HL + 1, 2 HL}, {y2, HL + 1, 2 HL}];

f[。 , .] 是预计算相关函数的查找函数，Angle[.] 也是预计算的。

根本没有办法以任何方式进一步简化这一点。我们已经通过将复指数（虚部为零）转换为上面的余弦表达式进行了简单的优化。

最大的问题是这些 HL 是基于尺寸大小的：对于沿轴的线性尺寸 L，HL 对应于 L^d（这里 d = 2）。所以我们的计算实际上是 O(n^8)，忽略 i, j 的总和。

如果不是因为我们对 r1 的 125 个值和 r2 的 125 个值进行迭代以创建 125 x 125 的图像，这通常对 L = 8 来说并不算太糟糕。

我的问题是：如何在 Mathematica 中最有效地进行计算？我会用另一种语言来做这件事，但是如果我用 C++ 之类的东西来尝试的话，有些问题会让它变得同样慢。

额外信息：这是一个 ND-ND（数密度）相关计算。所有的 x 和 y 指的是离散二维网格上的离散点。这里唯一不离散的就是我们的 r。

Answer 1

似乎用余弦变换交换傅里叶变换是优化的错误时间，因为它隐藏了这样一个事实，即这种相关性计算实际上只是两个傅里叶变换的乘积（这是计算相关性的唯一有效方法我知道）。
使用ir1=Angle[i] r1 和ir2=Angle[j] r2，您的表达式相当于

Sum[Cos[f[x1, x2] ir1 + f[y1, y2] ir2], {x1, HL}, {x2, HL}, {y1, HL+1, 2 HL}, {y2, HL+1, 2 HL}]
== Re@Sum[Exp[I f[x1, x2] ir1] Exp[I f[y1, y2] ir2], {x1, HL}, {x2, HL},{y1, HL+1, 2 HL}, {y2, HL+1, 2 HL}]
== Re[corr1[ir1] corr2[ir2]]

在哪里

corr1[ir_]:=Sum[Exp[I f[x1, x2] ir], {x1, HL}, {x2, HL}];
corr2[ir_]:=Sum[Exp[I f[y1, y2] ir], {y1, HL+1, 2 HL}, {y2, HL+1, 2 HL}];

由于我已经将您的缩放指数减半，我希望您会很高兴 :)，但如果 f 是实值，您可以将指数的另一个因子减半：
在这种情况下，我们可以将corr1 表示为对f 值的积分——假设您可以通过某种方式获得权重函数w。如果不出意外，您可以通过简单的分箱程序以数字方式执行此操作。

corr1v2[ir_]:=Sum[ w[fval] Exp[I fval ir], {fval,fvals}],

这清楚地表明corr1 实际上只是f 的权重函数的傅里叶变换（因此您应该使用 FFT 而不是上面的总和来计算它）。 corr2 也是如此。
或者，如果f 不是实值但具有足够的对称性以允许您以某种形式重新参数化，因此f 仅取决于新参数之一（例如，r、phi），您还将将corr1 积分减少到一维，尽管它可能不是简单的傅里叶变换。