如何计算盒子的法线？

Question

我正在尝试创建一种算法来计算模型/网格的法线。人们一直告诉我使用两个向量之间的叉积，起初这似乎是个好主意，直​​到我发现它可能并不总是有效。例如，想象一个盒子，它的正面位于原点，背面朝下 Z 轴。这是一张图片：

我为糟糕的笔迹道歉，但这不应该有任何意义。如您所见，我穿过 v 和 u 以获得指向正 z 轴的法线。但是，如果我使用相同的计算来计算背面的法线，那么显然法线将是指向形状内部的向量。结果是我有不准确的法线来计算灯光的亮度。我希望法线始终背对模型。

我知道必须有更好的方法来计算法线，但我不知道它是什么。谁能向我建议另一种算法来计算可以摆脱这个问题的法线？如果没有，那么必须有一种方法来检查法线是否面向对象/模型内部。如果是这样，那么您能否在答案中提出它以及我会在哪里找到关于它的解释，因为我很想对这些方法的工作原理有一个直觉。

Answer 1

大多数软件包遵循可配置的循环排序三角形索引 - 顺时针或逆时针。因此，它们导出的所有网格都具有自洽的顺序，只要您的程序使用相同的约定，您就不必担心。

---

话虽如此，我想您想知道在索引顺序不一致的假设（？）情况下该怎么办。

我们可以使用的一种方法是 ray-intersection。重要的定理是光源在网格外的光线只会与网格相交偶数次，如果在网格内，则为奇数次。

为此，我们可以执行以下操作：

• 使用上面的叉积计算“正常”（并对其进行标准化）=> N
• 取三角形上的任意一点（最好是中点）
• 将这个点沿法线增加一些小的 epsilon 值（取决于您的浮点格式和模型的大小 - 我会说 1e-4 用于单精度和 1e-8 用于双精度） => P
• 将这条射线[dir = N, src = P]与网格中的所有个三角形相交（一个很好的算法是Möller–Trumbore）
• 如果相交数为偶数，则光线从网格外部开始；这意味着法线点从网格向外（因为您从表面上的一个点增加了它的源）。 - 当然，反之亦然。

---

次要 (-ish ?) 题外话：对上述内容的一种幼稚方法，即遍历网格中的所有三角形，将是 O(n) - 因此整个过程将具有 二次时间复杂度。这对于 非常 约 20 个三角形的小网格（例如一个盒子）来说非常好，但对于任何更大的网格来说都不理想！

您可以使用空间细分技术来降低此交叉步骤的成本：

• K-D 树/八叉树：这些需要O(n log n)（对于最佳算法，即-参见Ingo Wald's paper）来构造，但如果处理得当，交叉点保证是O(log n)。那么整体复杂度将是O(n log n)，这几乎是你能得到的最好的了
• 网格：这只是将搜索空间和三角形划分为更小的框。构造是O(n)，并且内存效率更高。相交时间仍为O(n)，但常数因子远比naive方法小。

Answer 2

叉积不可交换，因此v x u 与u x v 不同。事实上，它们将完全相反。

对于正面，你想取u x v（假设你在一个right-hand coordinate system），背面你想穿过v x u。

有关交叉向量如何工作的更多信息，请参阅right-hand rule。