将四边形分割成最大面积的子区域答案

【问题标题】：Split quadrilateral into sub-regions of a maximum area将四边形分割成最大面积的子区域
【发布时间】：2012-06-27 00:39:01
【问题描述】：

将矩形/正方形分割成更小的区域并强制每个子区域的最大面积非常容易。您可以将区域划分为边长为 sqrt(max_area) 的区域，并小心处理剩余部分。

但是，对于四边形，我很难过。假设我不知道任何角落的角度。我们还假设所有四个点都在同一平面上。此外，我不需要小区域的大小都相同。我唯一的要求是每个单独区域的面积小于最大面积。

我可以使用特定的数据结构来简化此操作吗？
有没有我找不到的算法？

我可以使用四叉树来做到这一点吗？我不是非常精通树木，但我知道如何实现结构。

我在执行此操作时会考虑 GIS 工作，但我相当有信心这不会影响分割四边形的算法。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

您可以递归地将四边形在长边上一分为二，直到得到的区域足够小。

【讨论】：

你会如何处理维基百科图像右下角的形状？ en.wikipedia.org/wiki/Quadrilateral
@jake：先把它分成两个三角形
@Jake：你有要求子区域也是四边形吗？
@VaughnCato 同样，首先将形状分成两个三角形会添加另一个任意边界。一个子区域将无法同时属于这两个三角形。
@Jake：如果将四边形拆分为两个三角形，然后将每个三角形沿公共边在同一点拆分，则可以将四个三角形重新连接成两个四边形。您可以重复此过程，直到获得所需区域的四边形。

【解决方案2】：

如果你的四边形是凸的，那么实际上你可以把它分成两个面积相等的部分，同时具有相等的周长！这称为公平分区，并在The Open Problems Project 中进行了描述（它对更多的部分开放，但解决了两个部分）。

对于非凸四边形，不难找到一条线将其划分为两个相等的部分。
我相信这会奏效：通过一条线反射顶点，并围绕该顶点旋转它，直到它平均划分区域。如果您唯一的目标是将区域划分为两个相等的一半。

一般问题（对于任意多边形）属于 “多边形的火腿三明治切片”。事实上，我写了一篇与这个标题完全相同的论文。

【讨论】：