垂直线的最小二乘方程答案

【问题标题】：least squares equation for a vertical line垂直线的最小二乘方程
【发布时间】：2010-01-23 20:17:00
【问题描述】：

给定以下二维点：

213 106.8

214 189

214 293.4

213 324

223 414

我想为穿过它们的最小二乘垂直轴线找到一个方程。我的计划是得到一个线方程，这样我就可以测试后续点到最小二乘线的距离。

谢谢

【问题讨论】：

【解决方案1】：

严格来说，没有为垂直线定义最小二乘拟合（因为每个点的误差是平行于 Y 轴测量的）。

但是，如果你交换 X 和 Y，你可以找到最好的水平线正方形适合。它可以简单地计算 Y 坐标值的平均值：

水平线的方程就是 y = b。

每个点(x_i, y_i)的误差是(y_i - b)。

误差平方和为 SSE = sum( (y_i - b)²)。我们希望找到最小化 SSE 的 b 值。取 SSE 的偏导数尊重 b 并将其设置为零：

sum(-2(y_i - b)) = 0

简化，

sum(y_i) - Nb = 0

和

b = sum(y_i)/N

所以在你的情况下，平均 X 坐标会给你 X 坐标最适合您的观点的垂直线。

【讨论】：

【解决方案2】：

最通用的解决方案是申请Total Least Squares

这会找到 (a, b, d) 以最小化垂直距离平方和 (ax+by=d (a^2+b^2=1): |ax + by – d|)。这可以处理垂直线，例如0x+1y=0。

但是，这有点难以实现，所以@Jim Lewis 提供的解决方案可能更好，更实用..

【讨论】：

我不确定 OP 使用的是什么语言，但这是在 scipy-ODR 中实现的。要做到这一点，必须use two-dimensional input data（一维是x，另一维是y）然后模型值为零。因此，正如您所说，您正在解决 ax+by+d=0 的最小化问题。
0x+1y=0 不是垂直的，是水平线。
如果所有点都完全位于同一垂直线上，这是否有效？

【解决方案3】：

如果您希望最佳拟合线是垂直的（即 x = 常数），则 y 值无关紧要。只需取 x 值平方的均值的平方根。

【讨论】：