找到一组最大的连续矩形以覆盖多个区域[重复]答案

【问题标题】：Find the set of largest contiguous rectangles to cover multiple areas [duplicate]找到一组最大的连续矩形以覆盖多个区域[重复]
【发布时间】：2011-01-15 20:11:47
【问题描述】：

我正在为游戏Dwarf Fortress 开发一个名为Quickfort 的工具。 Quickfort 将 csv/xls 格式的电子表格转换为一系列命令，供 Dwarf Fortress 执行，以便在游戏中绘制“蓝图”。

我目前正在尝试以最佳方式解决此工具 2.0 版本的区域绘图问题。

考虑以下定义二维网格的绘图命令的“蓝图”。网格中的每个单元格都应该被挖出（“d”）、引导（“c”）或不作图（“.”）。实际使用中可能存在任意数量的不同绘图命令。

. d . d c c
d d d d c c
. d d d . c
d d d d d c
. d . d d c

为了尽量减少需要发送到 Dwarf Fortress 的指令数量，我想找到一组最大的连续矩形，这些矩形可以完全覆盖或“绘制”所有可绘制的单元格。为了有效，给定矩形的所有单元格必须包含相同的命令。

这是一种比 Quickfort 1.0 更快的方法：将每个单元格单独绘制为 1x1 矩形。 This video 显示了两个版本的性能差异。

对于上面的蓝图，解决方案是这样的：

. 9 . 0 3 2
8 1 1 1 3 2
. 1 1 1 . 2
7 1 1 1 4 2
. 6 . 5 4 2

上面每个相同编号的矩形表示一个连续的矩形。最大的矩形优先于也可以在其区域中形成的较小的矩形。编号/矩形的顺序并不重要。

我的current approach 是迭代的。在每次迭代中，我构建了一个最大矩形列表，这些矩形可以通过从单元格向所有 4 个方向延伸，由每个网格的可绘制单元格形成。在将列表排序为最大之后，我从找到的最大矩形开始，将其底层单元格标记为“已绘制”，并将该矩形记录在列表中。在绘制每个矩形之前，检查其底层单元格以确保它们尚未绘制（与先前的绘图重叠）。然后我们重新开始，找到可以形成的最大剩余矩形并绘制它们，直到所有单元格都被绘制为某个矩形的一部分。

我认为这种方法比愚蠢的蛮力搜索稍微优化了一些，但我浪费了很多周期（重新）计算单元格的最大矩形并检查底层单元格的状态。

目前，这个矩形发现例程占据了该工具总运行时间的最大份额，尤其是对于大型蓝图。为了速度，我牺牲了一些准确性，只考虑单元格中的矩形，这些单元格似乎形成了一个矩形的角（使用一些并不总是正确的相邻单元格启发式方法确定）。由于这种“优化”，我当前的代码实际上并没有正确生成上述解决方案，但它已经足够接近了。

更广泛地说，我认为最大矩形优先的目标是该应用程序的“足够好”的方法。但是我观察到，如果目标是找到矩形的最小集（最少数量）以完全覆盖多个区域，则解决方案将如下所示：

. 3 . 5 6 8
1 3 4 5 6 8
. 3 4 5 . 8
2 3 4 5 7 8
. 3 . 5 7 8

第二个目标实际上代表了问题的更优化解决方案，因为更少的矩形通常意味着更少的命令发送到 Dwarf Fortress。然而，基于我有限的数学知识，这种方法让我觉得更接近 NP-Hard。

如果您想更好地了解整体策略，请观看the video；我没有解决 Quickfort 过程的其他方面，例如找到绘制所有矩形的最短光标路径。可能有解决这个问题的办法，将这些多种策略连贯地结合起来。

任何形式的帮助都将不胜感激。

【问题讨论】：

你试过遗传算法吗？听起来很适合这个问题。

标签： algorithm geometry

【解决方案1】：

我找到了 San-Yuan Wu 和 Sartaj Sahni 的论文Fast Algorithms To Partition Simple Rectilinear Polygons，您可能会感兴趣。在您的示例中，带有字符“d”的区域形成一个直线多边形，带有“c”和“.”的区域也是如此。本文包括无孔简单直线多边形的算法。

如果多边形包含孔洞，则算法的运行时间为 O(n^3/2 log n)，正如 JM Keil 在论文 Polygon Decomposition 第 11 页所述。

如果最小化在分割过程中引入的线段的总长度是另一个优化标准，如果多边形包含孔（第 12 页），问题就变成了 NP 完全问题。对于这些问题，存在近似算法（本文指的是具有此类算法的论文）。如果多边形不包含孔洞，则存在 O(n^4) 时间算法。

【讨论】：

快速浏览一下摘要说这仅适用于“无孔”多边形。这会在这里工作吗？顺便说一句，感谢您提供了一个很棒的链接！
@templatetypedef：我什至对这个话题都不是很熟悉，joelpt 的问题刚刚引起了我的兴趣。但是，是的，本文中描述的算法仅适用于 hole-free 多边形。如果多边形包含孔，问题就变成了 NP 完全问题（正如论文 Polygon Decomposition 所述，我编辑了我的答案以包含本文的链接）
第二篇论文确实在第 12 页上说，“如果多边形包含孔，它们表明问题变得 NP 完全”，但它们正在最小化分区过程中引入的线段的总长度（墨水总量）。
@Steinbitglis：你说得对，感谢您指出这一点。我将编辑我的答案。

【解决方案2】：

这不是真正的答案，但使用简单的搜索可以得到

. 1 . 2 3 3
4 1 5 2 3 3
. 1 5 2 . 6
7 1 5 2 8 6
. 1 . 2 8 6

基本上，您从左上角开始并将其用作下一个矩形的左上角，然后检查可以将其向右和向下扩展多远，然后找到剩余位的最顶部和最左侧的单元格等等。

这在某些情况下可能非常无效，但它很快，因为您不必重新计算任何东西..

【讨论】：

我简单地修改了我的代码，只执行从单元格到东部和南部的连续区域搜索，结果发现性能提高了约 25%，但击键次数增加了 10-45%（不太准确)。我敢肯定，如果我重组代码以最大限度地减少重新扫描，它的性能会更高。

【解决方案3】：

在我看来，找到一组覆盖原始区域的矩形的所有解决方案都是正确的。找到一组较小的矩形更好，因为它压缩/性能更好。

所以我不建议尝试找到最佳解决方案。（我猜这也是 NP 难的）。

为了获得更快运行的解决方案，您最初可以将矩阵平铺成 4 个单元格，如果它们相同，请尝试合并它们。之后，您可以合并 4 个组（如果它们相同）。完成后递归执行。

这不会找到最佳解决方案，但会非常快。如果您的矩阵很大，连续区域很大，那么与最佳矩阵的差异不会那么大。

【讨论】：

感谢这个想法。这让我想到了一个解决方案，在每个单元格处，我们通过迭代尝试向外扩展矩形的每个边缘来扩大矩形的尺寸。我认为这类似于您的 4 细胞组想法，但允许非方形区域增长。