二维空间的平均值

Question

我目前正在开发一款软件，该软件可以从现有测量中插入数据并据此进行估算。数据排列在 2D 环境中，其中一个轴为风速，另一个轴为风角，每个点代表一个目标速度。

举个例子，我有三点：
p1：风速 6 节，风角 90 度 => 目标速度 5
p2：风速 6 节，风角 70 度 => 目标速度 6
p3：风速8节，风角70度=>目标速度7

现在我想插入风速 6 节和风角 80 度的点。我想要一个使用所有这些点的算法，并给出这三个点的平均值。

很久以前我制作了一个 3D 渲染器，我想我在那里使用了一种技术来为多边形着色，我认为这在这种情况下很有用。我在互联网上找到的所有示例都依赖于 OpenGL 等，这对我不起作用，因为我希望这个解决方案是用于嵌入式环境的纯 c/c++。由于我在嵌入式环境中运行，因此我的资源有限，主要是在程序大小方面。

你们中的任何人有什么建议可以帮助我解决这个问题吗？谢谢！

Answer 1

在深入研究我的旧微积分后，我找到了这个问题的数学答案。

鉴于我在空间中有三个点，我可以组成一个平面：

P: (Px, Py, Pz)
Q: (Qx, Qy, Qz)
R: (Rx, Ry, Rz)

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/EqnsOfPlanes.aspx 中描述的这些点和数学让我继续前进。

Vector(PQ) = (PQx, PQy, PQz)
Vector(PR) = (PRx, PRy, PRz)

现在我将叉积应用于这两个向量，这给出了平面的法线向量
（此处描述的交叉产品数学：http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/CrossProduct.aspx#Vectors_CrossProd_Ex2）

Vector(PQ) x Vector(PR) = Vector(PQy * PRz - PQz * PRy, 
                                 PQz * PRx - PQx * PRz,
                                 PQx * PRy - PQy * PRx)

所以，这就是我得到的平面方程，不管它必须通过其中一个点：

x(PQy * PRz - PQz * PRy) + y(PQz * PRx - PQx * PRz) + z(PQx * PRy - PQy * PRx) = 0

要获得通过所有点的平面的完整方程，我必须应用一个点，如第一个链接中的示例 1 所述。

x(PQy * PRz - PQz * PRy) + y(PQz * PRx - PQx * PRz) + z(PQx * PRy - PQy * PRx) = 
Px(PQy * PRz - PQz * PRy) + Py(PQz * PRx - PQx * PRz) + Pz(PQx * PRy - PQy * PRx)

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要将我的示例应用于此公式，我得到以下等式：

P: (90, 6, 5)
Q: (70, 6, 6)
R: (70, 8, 7)

Vector(PQ) = (20,  0, -1)
Vector(PR) = (20, -2, -2)

这些的交叉产品给了我这个公式：

-2x + 20y - 40z = 0

如果我现在将点 P 应用于此，我可以得到我的飞机的完整方程：

-2x + 20y - 40z = -2 * 90 + 20 * 6 - 40 * 5
-2x + 20y - 40z = -260
z = (-2x + 20y + 260) / 40

当我寻找 x = 6 和 y = 80 的 z 值时，我将这些值放入等式中。

x = 80
y = 6
z = (-2 * 80 + 20 * 6 + 260) / 40
z = 5.5

5.5 是本示例的预期答案，因为它恰好位于 P 和 Q 的中间。

这个算法的最终实现：

float TargetSpeed::PlaneInterpolation(Point3D p, Point3D q, Point3D r, int x, int y)
{
    Point3D pq = Point3D(p.X - q.X, p.Y - q.Y, p.Z - q.Z);
    Point3D pr = Point3D(p.X - r.X, p.Y - r.Y, p.Z - r.Z);

    Point3D  n = Point3D(pq.Y * pr.Z - pq.Z * pr.Y, 
                         pq.Z * pr.X - pq.X * pr.Z, 
                         pq.X * pr.Y - pq.Y * pr.X);
    float d = n.X * p.X + n.Y * p.Y + n.Z * p.Z;

    float z = (d - n.X * (float)x - n.Y * (float)y) / n.Z;
    return z;
}

Answer 2

数据是否在规则网格上？如果是这样，我只会使用线性插值之类的东西。如果没有，那么看看像 qhull 这样的东西。