用圆逼近多边形

Question

嗯，用多边形近似圆和毕达哥拉斯的故事可能是众所周知的。 但是反过来呢？

我有一些多边形，实际上应该是圆形。然而，由于测量误差，它们不是。所以，我正在寻找的是最能“近似”给定多边形的圆。

在下图中，我们可以看到两个不同的示例。

我的第一个 Ansatz 是找到点到中心的最大距离以及最小值。我们正在寻找的圆圈可能介于两者之间。

有解决这个问题的算法吗？

Answer 1

我会使用scipy 将一个圆圈“拟合”到我的观点上。您可以通过简单的质心计算获得中心和半径的起​​点。如果点均匀分布在圆上，则此方法效果很好。如果不是，如下例所示，总比没有好！

拟合函数很简单，因为圆很简单。您只需要找到从拟合圆到点的径向距离，因为切线（径向）表面始终是最佳拟合。

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import cdist
from scipy.optimize import fmin
import scipy

# Draw a fuzzy circle to test
N = 15
THETA = np.random.random(15)*2*np.pi
R     = 1.5 + (.1*np.random.random(15) - .05)
X = R*np.cos(THETA) + 5
Y = R*np.sin(THETA) - 2

# Choose the inital center of fit circle as the CM
xm = X.mean()
ym = Y.mean()

# Choose the inital radius as the average distance to the CM
cm = np.array([xm,ym]).reshape(1,2)
rm = cdist(cm, np.array([X,Y]).T).mean()

# Best fit a circle to these points
def err((w,v,r)):
    pts = [np.linalg.norm([x-w,y-v])-r for x,y in zip(X,Y)]
    return (np.array(pts)**2).sum()

xf,yf,rf = scipy.optimize.fmin(err,[xm,ym,rm])  

# Viszualize the results
import pylab as plt
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)

# Show the inital guess circle
circ = plt.Circle((xm, ym), radius=rm, color='y',lw=2,alpha=.5)
ax.add_patch(circ)

# Show the fit circle
circ = plt.Circle((xf, yf), radius=rf, color='b',lw=2,alpha=.5)
ax.add_patch(circ)

plt.axis('equal')
plt.scatter(X,Y)
plt.show()

Answer 2

也许一个简单的算法是首先计算点的质心（假设它们通常大致规则间隔）。这是圆心。一旦你有了，你可以计算点的平均半径，给出圆的半径。

更复杂的答案可能是做一个简单的最小化，即最小化点到圆边缘的距离之和（或距离平方）。

Answer 3

在维基百科页面smallest-circle problem 上，有两种不同的 O(n) 算法可用于确定您绘制的包含一系列点的最小圆。从这里开始绘制第二个圆应该相当容易，只需确定您之前找到的圆的中心，然后找到最接近该点的点。第二个圆的半径就是那个。

这可能不是你想要的，但这就是我要开始的方式。

Answer 4

这个问题可能和Smallest-circle problem一样。

但由于您的测量误差可能包括异常值，因此 RANSAC 是一个不错的选择。有关该方法的概述（以及其他基本技术），请参阅 http://cs.gmu.edu/~kosecka/cs482/lect-fitting.pdf，在 http://www.asl.ethz.ch/education/master/info-process-rob/Hough-Ransac.pdf 中有更多关于圆拟合的信息。

Answer 5

很容易找到一些近似值：

def find_circle_deterministically(x,y):
    center = x.mean(), y.mean()
    radius = np.sqrt((x-center[0])**2 + (y-center[1])**2).mean()
    return center, radius

解释：把圆的中心放在你的点的平均 x 和平均 y 上。然后，对于每个点，确定到中心的距离并取所有点的平均值。那是你的半径。

这个完整的脚本：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n_points = 10
radius = 4
noise_std = 0.3

angles = np.linspace(0,2*np.pi,n_points,False)
x = np.cos(angles) * radius
y = np.sin(angles) * radius
x += np.random.normal(0,noise_std,x.shape)
y += np.random.normal(0,noise_std,y.shape)

plt.axes(aspect="equal")
plt.plot(x,y,"bx")

def find_circle_deterministically(x,y):
    center = x.mean(), y.mean()
    radius = np.sqrt((x-center[0])**2 + (y-center[1])**2).mean()
    return center, radius

center, radius2 = find_circle_deterministically(x,y)
angles2 = np.linspace(0,2*np.pi,100,True)
x2 = center[0] + np.cos(angles2) * radius2
y2 = center[1] + np.sin(angles2) * radius2
plt.plot(x2,y2,"r-")

plt.show()

产生这个情节：

这会很好，因为您的多边形会出现测量错误。如果您的点在角度[0,2pi[ 上的分布不大致相等，那么它的性能就会很差。

更一般地说，您可以使用优化。