如何在六边形内生成具有它们之间距离的随机位置？

Question

我正在尝试在500 米六边形内创建给定距离的N 随机点对（N = 50）。使用(dmax - dmin).*rand(N,1) + dmin创建的距离D，在Matlab中使用dmin = 10和dmax = 100。我知道第一个我必须生成一组点([x1 y1])，它们与主六边形边框的距离至少为D，然后生成第二组点([x2 y2])，与第一个点有精确的距离D放。但有时我在六边形之外遇到了第二个点的问题，因为如果在六边形边框上的第一个位置加上Ddisance，那么第二个位置在六边形之外（我的意思是我想在里面生成随机对位置六醇）。有人可以帮助我生成这种场景并解决问题吗？谢谢。

例如

R               = 500; % hexagol radius
N               = 50;  % number pair positions
d_min           = 10;  % minimum distance          
d_max           = 100; % maximum distance       
D               = (d_max - d_min).*rand(N,1) + d_min; % randomly distance
X               = [0,0]; % hexagol center
j=0;
while j < N 
    j=j+1;
    theta(j)=2*pi*rand(1,1);
    u= rand()+ rand();
    if u < 1
       r(j) = R * u;
    else
       r(j) = R * (2 - u);
    end
% to create the first position
    x1(j)=r(j)*cos(theta(j)) + X(1,1); % first x positions
    y1(j)=r(j)*sin(theta(j)) + X(1,2); % first y positions
end
% to create the second position
x2(j) = x1(j) + D(j); % second x positions
y2(j) = y1(j) + D(j); % second y positions

Answer 1

这很像您的other question，它的解决方案几乎相同，但需要更多的数学运算。让我们关注一对点。还有两个步骤：

第 1 步：在六边形内找到一个随机点，距离其边界的距离为d。

第 2 步：找到另一个与第一个点的距离为 d 的点。

主要问题是第 1 步。我们可以说一个距离为d 的点形成一个半径为r 的六边形，实际上在一个半径为r-d 的六边形内。然后我们只需要找到一个位于六边形上的随机点！

六边形的极性公式：

我想在极地空间解决这个问题，所以我必须在这个空间中制定六边形。记住极地空间中的圆公式：

六边形在极地空间的公式很像它的外接圆，只是六边形的半径在每个t（角度）处都不同。我们把这个变化的半径称为r2。因此，如果我们找到函数R2 为所有ts 返回r2，那么我们可以写出六边形的极坐标公式：

此图演示了问题的参数：

这里的关键参数是α。现在我们需要一个函数Alpha，它为所有ts返回α：

现在我们在极地空间中的六边形边界上都有所有点：

r = 500;
T = linspace(0, 2*pi, 181);
Alpha = @(t) pi/2-abs(rem(t, pi/3)-(pi/6));
R2 = @(t) r*cos(pi/6)./sin(Alpha(t));
X = R2(T).*cos(T); 
Y = R2(T).*sin(T);

hold on
plot(X, Y, '.b');
plot((r).*cos(T), (r).*sin(T), '.r')

正多边形的极坐标公式：

在继续之前，我想概括一下Alpha 和R2 函数以涵盖所有regular polygons：

Alpha = @(t) pi/2-abs(rem(t, 2*pi/(n))-(pi/(n)));
R2 = @(t) r*cos(pi/n)./sin(Alpha(t));

其中n 是多边形的边数。

答案：

现在我们可以生成点对，就像我们为圆问题所做的那样：

r = 500; n = 6;
a = 10; b = 50;
N = 100;
D = (b - a).*rand(N,1) + a;

Alpha = @(t) pi/2-abs(rem(t, 2*pi/(n))-(pi/(n)));
R2 = @(t) r*cos(pi/n)./sin(Alpha(t));

T1 = rand(N, 1) * 2 * pi;
RT1 = rand(N, 1) .* (R2(T1)-D);
X1 = RT1.*cos(T1);
Y1 = RT1.*sin(T1);

T2 = rand(N, 1) * 2 * pi;
X2 = X1+D.*cos(T2);
Y2 = Y1+D.*sin(T2);

旋转多边形：

为了旋转多边形，我们只需要更新Alpha 函数：

t0 = pi/8;
Alpha = @(t) pi/2-abs(rem(t+t0, 2*pi/(n))-(pi/(n)));

这是对n=7、N=50000 和t0=pi/10 的测试：