使用 Excel 更改 3D 坐标系

Question

我的电子表格中有一个点云，位于某个坐标系中，云的格式如下： Name X Y Z PT1 X1 Y1 Z1 PT2 X2 Y2 Z2 PT3 X3 Y3 Z3 PT4 X4 Y4 Z4 ... PTi Xi Yi Zi ... 我想使用列表中的前四个点来构造一个新的坐标系，并将我的所有点转置到新的坐标系中。

必须将新坐标系定义为平面-线-点（或 3-2-1° 变换：

1. 平面是 (PT1, PT2, PT3, PT4) 的最佳拟合平面。我知道如何使用 excel LINEST 公式构造平面方程
2. 线/向量Midpoint(PT1-PT2)到Midpoint(PT3-PT4)线/向量很容易在excel中构造
3. 点是中点(PT1-PT2)。

总结原点 (0,0,0) 将位于中点 (PT1-PT2)。新的 X 轴将是中点 (PT1-PT2) 到中点 (PT3-PT4) 的向量。 Y 轴将包含在平面内并垂直于 X。Z 将垂直于 X 和 Y。

目前我能够找到平面和 X、Y、Z 轴的方程。

我的问题是如何根据这些参数构造变换矩阵，并使用excel公式实现。

谢谢。

Answer 1

我尝试将任务分为 5 个部分来回答。我将把 x,y,z 称为以 O 为中心的旧轴，将 X,Y,Z 称为以 P 为中心的新轴。

第一次尝试将部分结果保存在空单元格中。我无法为您提供一个单一的公式，可以一步回答您的问题。

a) 通用转换是旋转翻译。你在 P 点找到了你的新原点（你有坐标）。假设您的“旧原点”是 O = (0,0,0)，我可以简单地说从旧原点到新原点的转换是 d = |P-O| = |P|两个系统中向量 P 的欧几里得范数，在 excel 中很容易计算（我不知道是否有函数，我会使用毕达哥拉斯定理）。有人尝试构建用户定义的宏here

b) 现在您有了平移向量 (t1,t2,t3)，您可以为旧轴设置新原点，而无需旋转它们。注意符号，不过是一个简单的翻译公式（见例子： 如果 x = x' + t1 则 x' = x - t1) 想想在你的情况下哪个是 x' 哪个是 x，试着用一个简单的点 (1,0,0) 看看你的选择是否合适。 翻译你所有的点（即：PT1_t，PT2_t...） 现在您在 xyz 和 XYZ 之间有了一个中间参考系统。我们称之为“pqr”

c) 现在您的参考系统 pqr 和 XYZ 仅在旋转角度上有所不同。在构建旋转矩阵之前，您必须决定哪个轴首先旋转。 最好使用归一化向量（将每个向量划分为其范数） 假设 pqr 系统和 XYZ 的旋转是（最多）3 次围绕固定轴旋转的组合。 例如

1. 您将围绕 Z 旋转 pqr 以将 versor p 置于 XZ 平面中。您将获得一个“新”pqr' 系统。这是通过 3x3 旋转矩阵 RX 完成的（我们还不知道）
2. 您将使用 RY 围绕 Y 旋转 pqr' 以将 pqr' 与 X 对齐。你现在有 pqr''
3. 您将使用围绕 X 的旋转和矩阵 RX 将 q 轴与 Y 对齐，将 r 轴与 Z 对齐。 pqr''' 与 XYZ 完全对齐

总旋转为 R = RX * RY * RZ，一个矩阵乘积。如何找到旋转？ （按照我的旋转顺序不是强制性的！您可以构建自己的顺序，但最著名的是 XYZ、ZYX 和 ZXZ）。

d) 每个矩阵都需要一个角度。第一个角度是 p 与其在 XZ 平面中的投影之间的角度。第二个角度是 p' (= RZ * p) 和 X 之间的角度，第三个角度是 q'' ( = RY * q' = RY * RX * q) 和 Y 之间的角度。它必须相等（有错误）到 r'' 和 Z 之间的角度。 可以这样构建矩阵（如果 A 是通用角度）

RX = [1   0      0
      0 cos(A) -sin(A)
      0 sin(A) cos(A)]

检查 RY 和 RZ at this link 但请注意：正如我们之前所说，A 是一个方向的旋转角度，因此您可能需要 -A 进行旋转。一般来说（但要验证）A是从旧轴到新轴的角度，正A是逆时针方向。

要计算角度 A，请使用简单的公式 exposed here。 Excel 具有您需要的所有测角公式（余弦、反余弦...）。

e) 一旦你找到了三个矩阵 RX RY RZ 与旧 pqr 轴的旋转一起使用，你的新 XYZ 系统中的每个点 PTi' 都是从 PTi' = R * PTi_t 获得的。 您可以使用 MMULT excel 函数简单地构建矩阵产品 explained here

抱歉，篇幅较长，但作为一个简单的学生，这是我所知道的唯一系统。 希望对你有帮助。

Answer 2

通过Ctrl+Shift+Enter在下面的J6到L16中需要的命令将坐标重置为原始值

=RotpointsZ(RotpointsY(RotpointsX(AsArray($F$6:$H$16),$K$1),$K$2),$K$3)

如何编辑 VBA 代码以读取每个旋转行的不同 xyz 旋转，而不是像此处显示的那样绑定到一个旋转？

26/04/18 Mr.Excel 上的 WORF 刚刚回答了我的问题，即为每个要旋转的点读取不同的 xyz 旋转。他的输入是将以下代码添加到现有代码中：

Function Rot3D(ByVal rng1 As Range, ByVal rng2 As Range, ByVal rng3 As 
Range, ByVal rng4 As Range)
Rot3D = RotPointsX(RotPointsY(RotPointsZ(AsArray(rng1), rng2.Value), 
rng3.Value), rng4.Value)
End Function

复制以下公式：

=rot3d(b2:d2,h2,g2,f2)

使用 ctrl+shift+enter 进入单元格 J2、K2、L2，然后向下复制。 B、C、D 列中 xyz 坐标的旋转将按照 F、G、H 列中的角度进行旋转，并在 J、K、L 列中输出

我已使用剪切和粘贴将旋转角度放置在 F、G、H 列中。这当然会改变此处显示的原始工作表的布局。

Answer 3

看看这段代码，它允许在按行排列的一系列点上进行旋转。

首先是三个函数，它们接受一组值并应用关于 X、Y 或 Z 的相应旋转。

Public Function RotPointsX(ByRef pts() As Variant, angle_rad As Double) As Variant()
    Dim n As Integer
    n = UBound(pts, 1)
    If UBound(pts, 2) <> 3 Then
        'Need Three Points
        Exit Function
    End If
    Dim tX As Double, tY As Double, tZ As Double
    Dim X As Double, Y As Double, Z As Double

    For i = 1 To n
        tX = pts(i, 1): tY = pts(i, 2): tZ = pts(i, 3)
        X = tX
        Y = tY * Cos(angle_rad) - tZ * Sin(angle_rad)
        Z = tY * Sin(angle_rad) + tZ * Cos(angle_rad)
        pts(i, 1) = X: pts(i, 2) = Y: pts(i, 3) = Z
    Next i

    RotPointsX = pts
End Function
Public Function RotPointsY(ByRef pts() As Variant, angle_rad As Double) As Variant()
    Dim n As Integer
    n = UBound(pts, 1)
    If UBound(pts, 2) <> 3 Then
        'Need Three Points
        Exit Function
    End If
    Dim tX As Double, tY As Double, tZ As Double
    Dim X As Double, Y As Double, Z As Double

    For i = 1 To n
        tX = pts(i, 1): tY = pts(i, 2): tZ = pts(i, 3)
        X = tZ * Sin(angle_rad) + tX * Cos(angle_rad)
        Y = tY
        Z = tZ * Cos(angle_rad) - tX * Sin(angle_rad)
        pts(i, 1) = X: pts(i, 2) = Y: pts(i, 3) = Z
    Next i

    RotPointsY = pts
End Function
Public Function RotPointsZ(ByRef pts() As Variant, angle_rad As Double) As Variant()
    Dim n As Integer
    n = UBound(pts, 1)
    If UBound(pts, 2) <> 3 Then
        'Need Three Points
        Exit Function
    End If
    Dim tX As Double, tY As Double, tZ As Double
    Dim X As Double, Y As Double, Z As Double

    For i = 1 To n
        tX = pts(i, 1): tY = pts(i, 2): tZ = pts(i, 3)
        X = tX * Cos(angle_rad) - tY * Sin(angle_rad)
        Y = tX * Sin(angle_rad) + tY * Cos(angle_rad)
        Z = tZ
        pts(i, 1) = X: pts(i, 2) = Y: pts(i, 3) = Z
    Next i

    RotPointsZ = pts
End Function

接下来我需要一个函数将范围转换为数组，以及使用此函数执行此操作的最简单方法：

Public Function AsArray(ByVal r_pts As Range) As Variant()
    AsArray = r_pts.Value2
End Function

最后在我的工作表中，我将旋转作为嵌套函数并使用 Ctrl-Shift-Enter 作为数组函数输入

所以对于ZYX 的欧拉旋转，需要以下输入

=RotPointsX(
     RotPointsY(
         RotPointsZ(
             AsArray(<range>),
         angle_z),
     angle_y), 
 angle_x)

反向旋转是XYZ的负角旋转

=RotPointsZ(
     RotPointsY(
         RotPointsX(
             AsArray(<range>),
         -angle_x),
     -angle_y), 
 -angle_z)

我已经通过还原原始点验证了这一点