将坐标从一个扭曲的坐标系转换到另一个

Question

这个问题最好用一个例子来解释：

http://dl.dropbox.com/u/1013446/distortedcoordinatespace.exe

将红色小方块拖放到右侧小方块内。 它对应于左侧大四边形中的红色正方形。 您还可以拖动左侧大四边形的 4 个角，以查看它如何占据正方形内空间的扭曲版本。

给定正方形的 4 个点的绝对坐标和正方形内任意点的坐标，将点的坐标重新映射到任意四边形很简单。

我想要的是能够从任意四边形开始，并且能够做同样的事情，将四边形转换为任何其他 4 边形状，但保持点的相对扭曲位置，

所以给定 2 个不规则四边形 A 和 B 中的每一个的 4 个绝对坐标，我如何转换 C 点的坐标给定它的绝对坐标？

也很有帮助，如果我在这里缺少关于这些转换的名称的任何术语，因为我想更多地研究它们

好的，我正在尝试实施 btilly 的解决方案，这是我目前所拥有的：

   #include<complex>
#define cf complex<float>

cf i=sqrt(complex<float>(-1));

cf GetZ(float x,float y)
{
    return cf(x)+(cf(y)*i);
}

cf GetPathIntegral(cf p1,cf p2,cf q1,cf q2, int n)
{
    cf sum;
    for (int index=0;index<=n;index++)
    {
        cf s=cf(float(index)/float(n));
        cf weight;
        if (index==0||index==n)
            weight=1;
        else if(index%2)
            weight=4;
        else weight =2;


        sum+=(((cf(1)-s)*q1)+(s*q2))*(p2-p1)*weight;
    }
    return sum/cf((3.0*(n-1.0)));
}

在我从这里继续之前，我想确保我到目前为止是对的......

另外，这一段让我有点困惑：

好的，所以我们可以进行路径积分。什么 那是价值吗？那么假设我们 取一个随机点 z0 = x + iy 在我们地区的某个地方。假设 f(z) 在路径上定义。然后 柯西积分公式说 我们地区的积分（即 4个分段积分的总和 我们知道怎么做) f(z)/(2 * π * i * (z - z0)) 是一个非常好的函数，它将与我们的原始函数相匹配 边界上的函数。

这个函数究竟做了什么？

Answer 1

（我的第一遍是对一个看起来很自然的公式的复杂推导。但后来我意识到有一个更好的解决方案。如果我在过去 20 年使用复杂分析，我会更早记得.)

正确的做法是应用Cauchy Integral Formula。有了这个，您可以将任何多边形映射到任何其他多边形。如果多边形不自相交，它会将边界发送到边界，将内部发送到内部。该映射还将具有 conformal 的出色属性，这意味着角度被保留。我的意思是，如果一对曲线在您的区域相交，那么它们将被映射到一对以相同角度相交的曲线。 （埃舍尔的许多绘图都是基于保形映射。）

足够的炒作。你怎么做呢？我会解释它，假设你对复杂分析一无所知。我将使用一些微积分术语，但即使你根本不知道任何微积分，你也应该能够按照我的指示进行操作。由于我假设很少，因此解释必须有点长。对此我很抱歉。

实平面中的每个点(x, y) 都可以看作一个复数z = x + iy。我们可以使用代数的常用规则和i * i = -1 的事实来加和乘复数。此外请注意1 = (x + iy) * (x - iy)/(x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>)，所以如果我们让1/z = (x - iy)/(x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>)，我们可以分开。因此，我们拥有所有常用的算术规则。

但我们可以做得更好。我们可以做微积分。特别是我们可以在曲线周围做path integrals。函数沿曲线的积分是该函数对该曲线中各点的加权平均值。您可以阅读一般的操作方法。但这里是在这种情况下如何做到这一点。

假设起始区域有角P<sub>1</sub>, P<sub>2</sub>, P<sub>3</sub>, P<sub>4</sub>。该区域周围的路径由四个线段(P<sub>1</sub>, P<sub>2</sub>), (P<sub>2</sub>, P<sub>3</sub>), (P<sub>3</sub>, P<sub>4</sub>), (P<sub>4</sub>, P<sub>1</sub>) 定义。我将讨论如何处理第一条线段。其他类似。

f(z) 对(P<sub>1</sub>, P<sub>2</sub>) 的路径积分是f((1-s)P<sub>1</sub> + sP<sub>2</sub>)(P<sub>2</sub> - P<sub>1</sub>) 从 0 到 1 的积分。要评估该积分，最简单的方法是使用Simpson's Rule 进行数值积分。为此，请选择一个奇数 n 并为值 s = 0, 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n, 1 在模式 1, 4, 2, 4, 2, ..., 2, 4, 1 中分配权重。 （端点是 1，其他的都在 4 和 2 之间交替。）现在为每个点计算 f((1-s)P<sub>1</sub> + sP<sub>2</sub>)(P<sub>2</sub> - P<sub>1</sub>)，乘以权重，然后将它们加在一起。然后除以魔法值3 * (n-1)。结果大约是您的积分。 （随着n 的增长，此近似值的误差为O(1/n<sup>4</sup>)。在您的情况下，如果您采用n = 21，那么近似值应该足以将像素映射到正确的像素，边界附近的一些像素除外。把它弄大一点，问题区域就会变小。在边缘，你会想要一个边上像素数的倍数，以使误差变小。）

好的，所以我们可以进行路径积分。那有什么价值呢？好吧，假设我们在我们区域的某个地方随机取一个点z<sub>0</sub> = x + iy。假设在路径上定义了f(z)。然后Cauchy Integral Formula 表示f(z)/(2 * π * i * (z - z<sub>0</sub>)) 的区域周围的积分（这是我们知道如何做的 4 个分段积分的总和）是一个非常好的函数，它将与边界上的原始函数相匹配。我不会深入讨论它的所有“非常好的”事情，但我上面所说的关于 conformal 的内容就是其中的一部分。

现在我们使用什么函数f？好吧，假设我们的区域被映射到一个有角的区域Q<sub>1</sub>, Q<sub>2</sub>, Q<sub>3</sub>, Q<sub>4</sub>。我们希望第一个路径片段映射到第二个路径片段。所以我们希望f((1-s)P<sub>1</sub> + sP<sub>2</sub>) 是(1-s)Q<sub>1</sub> + sQ<sub>2</sub>。这告诉我们如何在需要积分的所有点上计算 f。

现在，你问，你如何扭转它？这很简单。只需反转两个多边形的作用，并计算反向变换！这带来了一个非常好的单元测试。您应该定义几个奇怪的区域，在中间选择一个点，并验证如果您从第一个映射到第二个然后再返回，您最终会接近您开始的位置。如果你通过了那个测试，那么你可能没有犯过错误。

最后，我提出的一般多边形声明呢？好吧，我们将路径定义为线性遍历的四个部分。更高阶的多边形只是在其路径中包含更多片段，但除此之外，计算方式完全相同。

Answer 2

找到了解决方案。我不得不说，这比我预期的要复杂得多：

假设正方形或四边形有四个角：

AB
CD

你需要一个插值因子：xt 代表 x 轴，yt 代表 y 轴，这样

如果定义线性插值公式：

lerp(j,k,t)
{
     return (t*(k-j))+j;
}

ABCD四边形内的点p定义为：

p.x=lerp(lerp(a.x,b.x,xt),lerp(c.x,d.x,xt),yt)

和

p.y=lerp(lerp(a.y,c.y,yt),lerp(b.y,d.y,yt),xt)

那么你需要定义的值是 xt 和 yt

xt= ((2* c.x* a.y) - (d.x* a.y) - (2 *a.x c.y) + (b.x c.y) - (c.x* b.y) + (a.x* d.y) - (a.y* p.x) + (c.y* p.x )+ (b.y p.x) - (d.y p.x) + (a.x p.y) - (b.x p.y) - (c.x* p.y) + (d.x* p.y) - Sqrt(-4* ((c.x* a.y) - (d.x* a.y) - (a.x* c.y) + (b.x* c.y) - (c.x* b.y) + (d.x* b.y) + (a.x d.y) - (b.x d.y))* ((c.x* a.y) - (a.x* c.y) - (a.y* p.x) + (c.y* p.x) + (a.x* p.y) - (c.x* p.y)) + ((-2 *c.x a.y) + (d.x a.y) + (2 * a.x c.y) - (b.x c.y) + (c.x* b.y) - (a.x* d.y) + (a.y* p.x) - (c.y* p.x) - (b.y* p.x) + (d.y* p.x) - (a.x* p.y) + (b.x* p.y) + (c.x* p.y) - (d.x p.y))^2))/(2 ((c.x* a.y) - (d.x* a.y) - (a.x* c.y) + (b.x* c.y) - (c.x* b.y) + (d.x *b.y) + (a.x *d.y) - (b.x *d.y))))

一旦你有了它

yt=(p.x-lerp(a.x,b.x,('xt')))/(lerp(c.x,d.x,('xt'))-lerp(a.x,b.x,('xt')))