坐标系变换，3d 投影到 2d 平面

Question

我有一个全局坐标系（X、Y、Z）和一个带点（A、B、C 和中心）的三角形。我知道这些点的所有坐标。

1. 我需要将全局坐标系从 (0; 0; 0) 移动到三角形中心，以便所有点：A、B、C 和中心都有 Z = 0 的新坐标。之后我需要知道这些点在与新坐标系的关系中的新坐标。新坐标系的方向并不重要。
2. 此外，如果有可能将 3D 点（三角形点）转换为 2D 平面而不会丢失其几何形状（大小）。它不应该是二维平面的投影。

>> A=[10.63307; -7.72528; 21.26636];
B=[4.06139; -12.49988; 21.26636];
C=[-6.57172; -20.22529; 13.14344];
Centr=[-4.38113; -13.48349; 18.55872];

>> V1=(B-A)/(norm(B-A))

V1 =

   -0.8090
   -0.5878
         0

>> V2=((C-A)-(dot((C-A),V1)*V1))/(norm((C-A)-(dot((C-A),V1)*V1)))

V2 =

    0.0000
   -0.0000
   -1.0000

>> V3=cross(V1,V2)

V3 =

    0.5878
   -0.8090
    0.0000

>> M=[V1,V2,V3]

M =

   -0.8090    0.0000    0.5878
   -0.5878   -0.0000   -0.8090
         0   -1.0000    0.0000

>> Anew=inv(M)*(A-Centr)

Anew =

  -15.5313
   -2.7076
    4.1666

>> Bnew=inv(M)*(B-Centr)

Bnew =

   -7.4083
   -2.7076
    4.1666

>> Cnew=inv(M)*(C-Centr)

Cnew =

    5.7350
    5.4153
    4.1666

这是我得到的： From this

To this

Answer 1

问题可以表示为找到一个 3×3 矩阵 M 使得点 P 的坐标可以在旧坐标系（P_old，3 行）和新坐标之间转换系统（P_new，3 行）。这是一个仿射变换：

P_old = Center + M * P_new     (1)

与M 的（矩阵-向量）乘法将其定位回旧系统，添加Center 的坐标会将其转换回旧原点。

式(1)可化为：

P_new = M^{-1} * (P_old - Center)     (2)

其中M^{-1} 是M 的倒数，用于根据旧坐标计算新坐标（如果该点属于三角形平面，则第三行将为 0）。

矩阵M由旧系统中新基的坐标组成，每列一个基向量。现在必须找到这样的基础。

这个基础可以取自（这都是伪代码）：

1. 重整化AB

          AB
   V1 = ______
       || AB ||
   

   • AB 这里的意思是向量AB（上面有一个箭头）：

     |b_x - a_x|
     |b_y - a_y|
     |b_z - a_z|
     

   • || . || 是欧几里得范数（^2 表示正方形，而不是 xor）：

     || V || = sqrt(V_x^2 + V_y^2 + V_z^2)
     

2. AC（也是一个向量，定义如AB），但减去它在V1 上的投影以使其与V1 正交，并重新归一化（如果三角形是，这将失败，除以零不是真正的三角形）：

           AC - (AC.V_1) V1
   V2 = _______________________
        || AC - (AC.V_1) V1 ||
   

   • M.N 是标量积：

     M.N = M_x * N_x + M_y * N_y + M_z * N_z
     

   • (AC.V_1) V1 只是标量 (AC.V_1) 与向量 V1 的乘积

3. 第三个向量，可以作为叉积得到笛卡尔坐标系：

   V3 = V1 x V2
   

   • 叉积定义为：

               |V1_y*V2_z - V1_z*V2_y|
     V1 x V2 = |V1_z*V2_x - V1_x*V2_z|
               |V1_x*V2_y - V1_y*V2_x|
     

然后M可以取为|V1 V2 V3|（每个Vx在3行上），然后使用公式（2）进行逆计算。

这种变换（使用倒置的 M）应该为三角形平面上的点生成新坐标，这些点在第三轴上有 0（这使得它在该平面上成为二维坐标），并保留大小欧几里得范数。