SAGE：寻找置换群的自同构群

Question

我想在 Sage 中计算一个置换群的自同构群。例如，在 GAP 中，我可以计算以下内容：

grp := Group([ (1,2,3,4,5), (1,2,4,3) ]);
aut := AutomorphismGroup(grp);

Group( [ GroupHomomorphismByImages( Group( [ (1,2,3,4,5), (1,2,4,3) ] ), Group( [ (1,2,3,4,5), (1,2,4,3) ] ), Pcgs(
    [ (2,3,5,4), (2,5)(3,4), (1,2,3,4,5) ]), [ (2,3,5,4), (2,5)(3,4), (1,3,5,2,4) ] ),
  GroupHomomorphismByImages( Group( [ (1,2,3,4,5), (1,2,4,3) ] ), Group( [ (1,2,3,4,5), (1,2,4,3) ] ), Pcgs(
    [ (2,3,5,4), (2,5)(3,4), (1,2,3,4,5) ]), [ (2,3,5,4), (2,5)(3,4), (1,5,4,3,2) ] ),
  GroupHomomorphismByImages( Group( [ (1,2,3,4,5), (1,2,4,3) ] ), Group( [ (1,2,3,4,5), (1,2,4,3) ] ), Pcgs(
    [ (2,3,5,4), (2,5)(3,4), (1,2,3,4,5) ]), [ (1,2,4,3), (1,4)(2,3), (1,2,3,4,5) ] ) ] )

经过一番搜索，似乎没有用 Sage 编写的函数来执行此操作；然而，我在这个网站上偶然发现了这个问题（和答案）：SAGE: Automorphism group of finite abelian group?

建议执行以下操作：

grp = PermutationGroup([ '(1,2,3,4,5)', '(1,2,4,3)' ])
H = gap(grp).AutomorphismGroup()
PermutationGroup(gap_group = H.AsPermGroup())

Permutation Group with generators [(2,3,5,4), (2,5)(3,4), (1,5,4,3,2)]

我无法让这段代码工作。我在 Windows 10 上运行 Sage 8.9。当我将上述代码放入 Sage Cell Server (https://sagecell.sagemath.org/) 时，它工作得很好。当我在我安装的副本中运行它时，我得到以下错误输出：

RuntimeError: Gap produced error output
Error, Variable: 'AsPermGroup' must have a value

   executing __SAGE_LAST__:="__SAGE_LAST__";;AsPermGroup(\$sage3);;

我真的需要让它工作。这是 Sage 8.9 via Windows 的问题吗？

Answer 1

我设法在 Sage 8.9（在 Windows 上）中通过调用 GAP 并使用“NiceObject”命令进行计算，如下所示：

sage: grp = PermutationGroup([ '(1,2,3,4,5)', '(1,2,4,3)' ])
sage: G_gap = gap(grp)
sage: gap.eval("aut := SmallGeneratingSet(NiceObject(AutomorphismGroup({})))".format(G_gap))
sage: A_gen = gap.new("aut")
sage: aut = PermutationGroup(A_gen)
sage: aut
Permutation Group with generators [(1,5,4,3,2), (2,3,5,4)]

这也适用于 Linux 和 Mac 版本的 Sage。我认为上面的问题是 Sage 的 Windows 版本不包括可选的间隙包，其中包括具有功能“AsPermGroup”的间隙包“奏鸣曲”。 Sage Cell Server 安装了这些可选包。我不知道如何在 Sage 的 Windows 发行版中安装这些可选包，但上面的代码对我来说很好用。希望这对其他人有所帮助。