剩余序列

Question

我想计算 GCD 使用的两个多项式的余数序列。如果我理解关于Pseudo-remainder sequence 的维基百科文章，计算它的一种方法是使用欧几里得算法：

gcd(a, b) := if b = 0 then a else gcd(b, rem(a, b))

意思是我会收集rem() 部分。但是，如果系数是整数，则中间分数增长得非常快，因此存在所谓的“伪余数序列”，它试图将系数保持在小整数中。

我的问题是，如果我理解正确（是吗？），以上两个序列仅因常数因素而不同，但是当我尝试运行以下示例时，我得到不同的结果，为什么？第一个余数序列相差-2，好吧，但为什么第二个序列如此不同？我认为subresultants() 可以正常工作，但为什么g % (f % g) 不能正常工作？

f = Poly(x**2*y + x**2 - 5*x*y + 2*x + 1, x, y)
g = Poly(2*x**2 - 12*x + 1, x)
print
print subresultants(f, g)[2]
print subresultants(f, g)[3]
print
print f % g
print g % (f % g)

导致

Poly(-2*x*y - 16*x + y - 1, x, y, domain='ZZ')
Poly(-9*y**2 - 54*y + 225, x, y, domain='ZZ')

Poly(x*y + 8*x - 1/2*y + 1/2, x, y, domain='QQ')
Poly(2*x**2 - 12*x + 1, x, y, domain='QQ')

Answer 1

以上两个序列仅相差常数因子

对于一个变量的多项式，它们确实如此。对于多元多项式，它们不会。

多元多项式的除法是somewhat tricky business：结果取决于选择的单项式顺序（默认情况下，sympy 使用字典顺序）。当你让它将2*x**2 - 12*x + 1除以x*y + 8*x - 1/2*y + 1/2时，它观察到分母的前导单项式是x*y，并且分子中没有可以被x*y整除的单项式。所以商为零，一切都是余数。

子结果的计算（因为它在 sympy 中实现）将 x,y 中的多项式视为 x 中的单变量多项式，其系数恰好来自 y 中的多项式环。肯定会产生一个子结果序列，其相对于 x 的度数一直减小直到达到 0：序列的最后一个多项式将没有 x。关于 y 的度数可能（并且确实）上升，因为该算法没有问题将这些项乘以 y 中的任何多项式以使 x 退出。

结果是两种计算都能正常工作，只是做不同的事情。