不使用 sqrt 计算二次方程的平方解

Question

我正在尝试编写一个圆到线段的碰撞检测算法，其中涉及确定圆和线段的交点。线段代表子弹在最后一帧上的轨迹，这意味着即使有多个圆与线相交，它也会击中第一个圆。

我想获得交点的t 值，这是对交点沿线段距离的度量。计算t 值需要求解一个二次方程，其中涉及公式t = (-b - sqrt(det)) / (2 * a)。为了使代码更快，我试图完全避免使用sqrt，这意味着我不会比较在所有潜在圈子中找到最小的t，而是尝试为它们找到最小的t^2。但是，我不知道如何在没有sqrt 的情况下找到t^2，即使给定t = (-b - sqrt(det)) / (2 * a)，因为二项式展开仍然涉及sqrt。

不使用sqrt函数如何计算t^2 = ((-b - sqrt(det)) / (2 * a))^2？

Answer 1

你需要解决

(x0 - cx + dx * t)^2 + (y0 - cy + dy * t)^2 = r^2

对于一个圈子集中的每个(cx, cy, r)。一般情况下，没有二次方程解和sqrt是不可能找到t值的。

但也许你可以（我们不知道所有问题细节）构建一些空间索引结构（分区，即 kd-tree）以避免对所有这些圆圈进行全面检查。