在一组树中找到正方形

Question

假设我们是一个猎人，在有 N 棵树的森林里。为了猎杀最好的鹿，我们打算从一棵树到另一棵树建造栅栏，这样我们最终得到一个精确的正方形。进一步假设给定森林中 N 棵树中每棵树的 (x,y) 坐标列表。我们想找到最大可能的正方形和任何大小的可能正方形的总数？目标为 O(N^2)。

例如列表 (4, 10), (3, 13), (2, 10), (1, 13), (3, 11), (5, 11), (4, 14), (1, 11), (9, 15), (9, 11), (5, 15) 包含三个可能的正方形，这三个正方形中最大的正方形由 (5, 11), (9, 15), ( 9, 11), (5, 15)。

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我的基本尝试是编写一个遍历整个点列表（从 1 到 N）的 for 循环，然后包含第二个 for 循环，再次遍历所有点，从 i 到 N，其中 i是第一个 for 循环的当前增量。这两个点现在唯一地确定剩余的两个点。因此我们需要一个 for 循环（从 j 开始，其中 j 是第二个 for 循环的当前增量）来检查这两个剩余点是否存在。如果它们存在，那么我们找到了一个正方形。找到所有方格后，找到最大的方格就很容易了。

但是，这个想法需要三个 for 循环，即 O(N^3)。所以我想知道如何优化这段代码以实现 O(N^2)。

Answer 1

这两个点现在唯一确定剩余的两个点。

你的想法是正确的：迭代每一边，并尝试在它周围建立两个正方形（一个正方形将是另一个正方形的镜像）。

但是，这个想法需要三个 for 循环，即 O(N^3)。所以我想知道如何优化这段代码以实现 O(N^2)。

您可以将第三个循环替换为哈希表查找，即 O(1)。构建哈希表需要 O(N)，所以你的算法的总体时间是 O(N^2)。