冒泡排序算法求时间复杂度

Question

我正在尝试找出冒泡排序的时间复杂度

n=length[A]
for j <- n-1 to 1
for i <- 0 to j-1
if A[i]>a[i+1]
temp=A[i]
A[i]=A[i+1]
A[i+1]=temp

return A 

请大家帮忙谢谢

Answer 1

• 在第 1 行中，我们将数组的长度分配给 n，因此时间恒定
• 在第 2 行中，我们有一个 for 循环，每次迭代将 j 减 1，直到 j=1，总共将迭代 n-2 次。
• 在第一个 for 循环中，我们有第二个 for 循环，每次迭代都会将 i 递增 1，直到 i=j-1 并将迭代 j-1 次。在内部 for 循环的每次迭代中，我们都有第 4、5、6、7 行，它们都是赋值和数组访问，它们的总时间是固定的。
• 我们可以这样考虑两个 for 循环：对于外部 for 循环的每次迭代，内部 for 循环将迭代 j-1 次。
• 因此，在外部 for 循环的第一次迭代中，我们有 j = n-1。这意味着内部 for 循环将迭代 (n-1)-1 = (n-2) 次。然后在外部 for 循环的第二次迭代中，我们有 j= n-2 ，因此内部 for 循环将迭代 (n-2)-1 = (n-3) 次，依此类推。我们这样做直到 j = 1。
• 然后我们将得到等式： (n-2) + (n-3) + ... + 2 + 1 这是整个算法执行后内部循环将迭代的总次数。我们知道 1 + 2 + ... + n-1 + n = n(n-1)/2 所以我们的表达式可以简化为：n(n-1)/2 -(n-1) -n = n(n-1)/2 -2n + 1 = O(n^2)。
• 由于我们的内部 for 循环将迭代 O(n^2) 次，并且在每次迭代中都会做恒定的工作，那么这意味着我们的运行时间将是 O(cn^2)，其中 c 是行完成的恒定工作量4,5,6,7。将 O(cn^2) 与第 1 行相结合，即 O(1)，我们得到 O(cn^2) + O(1)，即 O(n^2)。
• 因此 BubbleSort 的运行时间为 O(n^2)。

如果您仍然感到困惑，那么也许这会有所帮助：https://www.youtube.com/watch?v=Jdtq5uKz-w4