求时间复杂度答案

【问题标题】：finding the time complexity求时间复杂度
【发布时间】：2013-09-22 19:06:55
【问题描述】：

我试图了解复杂性的细微差别下面的每个例子。

示例 A

int sum = 0;
for (int i = 1; i < N; i *= 2)
   for (int j = 0; j < N; j++)
      sum++;

我的分析：

第一个 for 循环执行 lg n 次。
内循环独立于外循环，每次外循环执行N次。

所以复杂度一定是：
n+n+n...lg n次

因此复杂度为n lg n。

这是正确的吗？

int sum = 0;
for (int i = 1; i < N; i *= 2)
   for(int j = 0; j < i; j++)
      sum++;

我的分析：

第一个 for 循环执行 lg n 次。
内循环的执行依赖于外循环。

那么当内循环的执行次数取决于外循环时，我该如何计算复杂度呢？

int sum = 0;
for (int n = N; n > 0; n /= 2)
   for (int i = 0; i < n; i++) 
      sum++;

我认为示例 C 和示例 B 必须具有相同的复杂性，因为内循环执行的次数不取决于外循环。

这是正确的吗？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

在示例 B 和 C 中，内部循环执行 1 + 2 + ... + n/2 + n 次。在这个序列中恰好有lg n 术语，这确实意味着int i = 0 执行lg n 次，但是内部循环中语句的总和是2n。所以我们得到O(n + lg n) = O(n)

【讨论】：

【解决方案2】：

(a) 你的分析是正确的

(b) 外循环进行 log(N) 次。内部循环以 1, 2, 4, 8, ... 的顺序进行 log(N) 次，这是一个几何级数，等于 (approx) O(2^log(N)) 或最高倍数的两倍。

例如：1 + 2 + 4 = (approx)2*4，1 + 2 + 4 + 8 = (approx)2*8。

因此总复杂度为O(2^log(N)) = O(N)

【讨论】：

更正确的说法是这是geometric series 的总和，也导致了 O(2^log n)（我认为是 O(n)）。
2^log(N) 等于 N；复杂度是 O(n)
@Dukeling 我对 O(2^logn) 如何到达那里有一点灰色地带。在 C 部分，内循环运行 log(n) 次，外循环运行 log(n) 次。所以应该是log(n) * log(n) ==> (log(n))^2 然后怎么变成2^log(N) ??
@AchalaYasasPiyarathna 内循环运行的次数取决于外循环，不能直接说是log N。由于geometric series sums 的公式，您可以直接从1 + 2 + 4 + 8 + ... + N（这是内部循环实际运行的次数）到达O(2^log N)。

【解决方案3】：

精细时间复杂度

I=1;
K=1;
While(k<n)
{
    Stmt;
    K=k+i;
    I++;
}

【讨论】：