用 python (NumPy) 求解热方程

Question

我求解一根金属棒的热方程，因为一端保持在 100 °C，另一端保持在 0 °C，因为

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

dt = 0.0005
dy = 0.0005
k = 10**(-4)
y_max = 0.04
t_max = 1
T0 = 100

def FTCS(dt,dy,t_max,y_max,k,T0):
    s = k*dt/dy**2
    y = np.arange(0,y_max+dy,dy) 
    t = np.arange(0,t_max+dt,dt)
    r = len(t)
    c = len(y)
    T = np.zeros([r,c])
    T[:,0] = T0
    for n in range(0,r-1):
        for j in range(1,c-1):
            T[n+1,j] = T[n,j] + s*(T[n,j-1] - 2*T[n,j] + T[n,j+1]) 
    return y,T,r,s

y,T,r,s = FTCS(dt,dy,t_max,y_max,k,T0)

plot_times = np.arange(0.01,1.0,0.01)
for t in plot_times:
    plt.plot(y,T[t/dt,:])

如果将 Neumann 边界条件更改为一端是绝缘的（不是通量），

那么，如何计算项

T[n+1,j] = T[n,j] + s*(T[n,j-1] - 2*T[n,j] + T[n,j+1])

应该修改吗？

Answer 1

Neumann 边界条件的一种典型方法是想象一个超出域一步的“鬼点”，并使用边界条件计算它的值；然后对网格内的点（包括 Neumann 边界）正常进行（使用 PDE）。

鬼点允许我们使用对称有限差分逼近边界处的导数，即(T[n, j+1] - T[n, j-1]) / (2*dy)，如果y是空间变量。不涉及鬼点的非对称近似(T[n, j] - T[n, j-1]) / dy 的准确度要低得多：它引入的误差比 PDE 本身离散化所涉及的误差差一个数量级。

所以，当 j 是 T 的最大可能索引时，边界条件说“T[n, j+1]”应该理解为T[n, j-1]，这就是下面所做的。

for j in range(1, c-1):
    T[n+1,j] = T[n,j] + s*(T[n,j-1] - 2*T[n,j] + T[n,j+1])  # as before
j = c-1 
T[n+1, j] = T[n,j] + s*(T[n,j-1] - 2*T[n,j] + T[n,j-1])  # note the last term here