找到一个top-K点总和最大的区域答案

【问题标题】：Find a region with maximum sum of top-K points找到一个top-K点总和最大的区域
【发布时间】：2015-12-15 14:21:59
【问题描述】：

我的问题是：我们在 2D 空间中有 N 个点，每个点都有一个正权重。给定一个由两个实数 a,b 和一个整数 k 组成的查询，找到一个大小为 a x b 且边平行于轴的矩形的位置，因此前 k 个点的权重之和，即 k 个最高的点矩形覆盖的权重是否最大化？

欢迎提出任何建议。

附：有两个相关的问题，已经充分研究过：

最大区域总和：找到总权重总和最高的矩形。复杂度：NlogN。
正交范围的前 K 个查询：在给定矩形中查找前 k 个点。复杂度：O(log(N)^2+k)。

【问题讨论】：

如果我选择覆盖所有点的矩形怎么办？权重将最大化
@Nyavro：给定矩形的大小，即 a x b。所以你不能选择覆盖所有点的矩形。
任意旋转的矩形？还是平行于给定轴对的矩形？
@TomZych 矩形的边与轴平行。
这可能没有帮助，但在给定的限制条件下，我认为可以肯定地说，如果我们采用任何矩形（甚至是最佳矩形），我们可以移动它（不会丢失任何点内），使得每个垂直和水平边中的一个位于 1 个或多个点上。也许这可以以某种方式使用，例如扫描算法

标签： algorithm geometry computational-geometry

【解决方案1】：

您可以将此问题简化为在矩形中找到两个点：最右边和最上面。因此，您可以有效地选择每一对点并计算前 k 个权重（根据您的说法是 O(log(N)^2+k)）。复杂度：O(N^2*(log(N)^2+k))。

现在，给定两个点，它们可能不会形成有效的对：它们可能太远，或者一个点可能在另一点的右侧和顶部。所以，实际上，这会快得多。

我的猜测是最佳解决方案将是最大区域和问题的变体。您能否指出描述该算法的链接？

【讨论】：

你的想法很有趣。我会考虑的。对于最大区域和问题，我们可以在题为《一种统一的算法，用于查找包围矩形和长方体的最大和最小对象的算法》中进行研究。

【解决方案2】：

一个非最佳答案如下：

生成所有可能的 k-plets 点（它们是 N × N-1 × … × N-k+1，所以这是 O(N^k) 并且可以是通过递归完成）。
通过消除所有未包含在 a×b 矩形中的 k-plet 来过滤此列表：最坏的情况是 O(k N^k)。
找到权重最大的 k-plet：最坏的情况是 O(k N^k-1)。

因此，这个算法是 O(k N^k)。

改进算法

当一组点已经太大时，可以通过停止分支递归将步骤 2 集成到步骤 1 中。这不会改变至少扫描一次元素的需要，但它可以显着减少数量：想想没有解决方案的情况，因为所有点都分开超过矩形的大小，可以在 O( N²).

另外，通过对点数组进行相应的预排序，可以使步骤1中的置换生成器按x或y坐标的顺序返回点。这很有用，因为它可以让我们预先放弃一堆更多的可能性。假设数组按 y 坐标排序，那么返回的 k-plet 将按 y 坐标排序。现在，假设我们要丢弃一个分支，因为它包含一个 y 坐标在最大矩形之外的点，我们也可以丢弃所有下一个兄弟分支，因为它们的 y 坐标将大于等于当前已经超出的界限。

这为排序增加了 O(n log n)，但在许多情况下改进可能非常显着——同样，当有许多异常值时。应该选择与最小矩形边相对应的坐标，除以 2D 字段的对应边——我的意思是最大坐标减去所有点的最小坐标。

最后，如果所有点都位于 a×b 矩形内，那么算法无论如何都会执行为 O(k N^k)。如果这是一个具体的可能性，应该检查它，一个简单的 O(N) 循环，如果是这样，那么返回具有前 N 个权重的点就足够了，这也是 O(N)。

【讨论】：

感谢您的回答。因为在我的数据中，N 很大（约 1M 点），我认为您的解决方案效率不高。顺便说一句，如果一个区域包含的点少于 k 个，它的分数是所有点的权重之和。所以总会有答案。
@user2210078 我认为如果您有更多关于您的案例的详细信息，我们可以改进。 k是多少？点是如何分布的（例如，有多均匀，还有多少空间？a 和 b 的范围是多少？这些都是我们可以用来提高算法效率的东西
我的目标是为任何数据设计一个有效的算法，比如我在帖子中提到的最大区域总和的解决方案。 k 可能很小，大约是 2,3,5 或 10。当然，如果我们知道数据的一些特征，例如点分布，我们可以利用它们来改进我们的算法。在这种情况下，您可以考虑一个示例，我们的数据集是来自一个城市、一个州或整个美国的一组地点（餐馆、电影院等），权重是来自 Yelp 或 Foursquare 的分数。