测量一维向量之间的相似度

Question

已编辑问题

我有 n 个长度相等的信号。

    X_signal
    Y_signal
    ...
    Z_signal

我计算这些信号的最小值并将它们的位置（及时）存储在向量中

X = [x1 x2 x3 x4 ... x100]
Y = [y1 y2 y3 y4 ... y150]
...
Z = [z1 z2 z3 z4 ... z110]

您可以将 X、Y、..Z 视为具有不同长度的时间序列。 如果它们的最小值几乎在相同的位置，我假设原始信号是相似的。

我想知道测量这种相似性的聪明方法是什么，记住 X、Y、Z 中的一些最小值可能只是噪声。

例如，如果 X = [1 5 8 12 15 20] 和 Y = [1.5 5.5 7.5 10 12 15.5 20.2] 它们应该是相似的，因为除了 Y(4) = [10 之外，几乎所有的点都具有相同的值].

如果你有 Matlab 中的时间码或伪代码，不胜感激，否则建议、链接等也很好。

谢谢

原始问题

我有 n 个不同长度的向量。

X = [x1 x2 x3 x4 ... x100]
Y = [y1 y2 y3 y4 ... y150]
...
Z = [z1 z2 z3 z4 ... z110]

向量（X Y ... Z）表示相应信号（X_energy、Y_energy 等）能量的最小值。

回顾从信号 X_signal、Y_signal ... Z_signal 开始，我计算 20 个样本的窗口中的能量，并计算得到的能量信号的最小值。

假设如果两个或多个向量具有几乎相等的值，则它们是相似的（即，如果 x1 ~= y1、x2 ~=y2 等，则 X 和 Y 相似）换句话说，我假设原始信号相似，如果它们在同一（或几乎同一）时刻具有最小能量。我想知道衡量这种相似性的聪明方法是什么。

PS。

1. 两个向量相等几乎是不可能的，所以我想知道它们的“点”有多接近。
2. 如果 X 和 Y 移位（即 x1~=y3、x2=~y4 等），它们也可能相似
3. 值总是按升序排列(x1<x2<...<x100)

如果你有 Matlab 中的时间码或伪代码，不胜感激，否则建议、链接等也很好。

谢谢

Answer 1

一种可能的方法（特别是如果您没有统计和/或信号处理工具箱）是使用 Matlab 函数 corrcoef

为所有向量生成相关矩阵

由于你的向量大小不同，你必须要么

• 对较小的向量进行零填充，使其与最大的向量大小相同

• 或取小于或等于数字的对齐样本 最小向量中的值，之前的每个值 计算相关性。

这取决于您的应用程序哪个程序更合适。由于您的向量是按升序排列的，因此零填充可能不合适。

然后您需要创建一个矩阵 M，其中行对应于元素，列对应于每个（零填充或采样）向量。

您可以使用 Matlab 函数 horzcat：

M=horzcat(V1,V2,...Vn)

其中 V1、V2、..Vn 是每个相同大小的列向量。

最后，您可以使用 corrcoef 获得所有向量的相关矩阵：

Cmat=corrcoef(M)

this link 上用于 corrcoef 的 Matlab 文档将帮助您了解如何以统计方式解释结果。

请注意，这种方法不会考虑向量的滞后版本之间的任何相关性。

Answer 2

修改后的答案

现在很清楚X 向量是信号“X”的所有最小值的时间位置，Y 向量是信号“Y”的所有最小值的时间位置，等等...这里有一些更新代码。

事实上这个想法还是一样的......我们从所有信号中最小值的所有时间位置构建一个线性采样的时间向量（+来自某个时间采样精度）......然后我们构建新的信号 1.0 任何地方都期望在最小时间位置（设置为 0.0）...最后我们使用与以前相同的相关代码。

NB 速度和内存优化版本现已推出here

function [RMax] = MinimaCorrelation(c, ts)
%[
    % Some default resolution and time-location of minima positions
    if (nargin < 2), ts = 0.1; end
    if (nargin < 1), c = { [1 3 8 7 3 4 12]; [3 8 7 3]; [4 12]; [5 3 8 -3 12]; [1 3 8 7 3 4 12]; }; end

    % Number of channels
    n = length(c);

    % Build linearly sample time vector for all time locations
    minTime = min(cellfun(@min, c));
    maxTime = max(cellfun(@max, c));
    timeVector = minTime:ts:maxTime;
    timeVector(end+1) = timeVector(end) + ts; % just to really include min and max if step is not ok

    % Build new signals being '1' everywhere except at minima locations (set to '0')
    s = ones(n, length(timeVector));
    for ni = 1:n
        for mv = c{ni}
            [~, ind] = min(abs(timeVector - mv));
            s(ni, ind) = 0;
        end
    end

    % Correlation (copied 3 times to avoid biased effect on sides ==> circular shifting is ok this way)
    s = [s, s, s].';
    RMax = max(xcorr(s, 'coeff'), [], 1);

    % Put in R(i,j) format
    RMax = reshape(RMax, [n n]);
%]
end

使用默认数据，可以获得：

1.0000    0.9899    0.9866    0.9829    1.0000
0.9899    1.0000    0.9833    0.9865    0.9899
0.9866    0.9833    1.0000    0.9832    0.9866
0.9829    0.9865    0.9832    1.0000    0.9829
1.0000    0.9899    0.9866    0.9829    1.0000

小心，这是蛮力解决方案（时间和内存消耗随着信号数量和时间分辨率的增加而迅速增加）。现在这个问题更清楚了，也许有人会找到更聪明的答案。

原答案

这是使用cross-correlation 和xcorr 例程的最大值的方法的粗略代码（在信号处理工具箱中）：

function [RMax] = xcorrmax(c)
%[
    % Default signals for test
    if (nargin < 1),
        c = cell(0,0);
        c{end+1} = [1 3 8 7 3 4 12];
        c{end+1} = [3 8 7 3];
        c{end+1} = [4 12];
        c{end+1} = [5 3 8 -3 12];
        c{end+1} = [1 3 8 7 3 4 12];
    end

    % Number of channels
    n = length(c);

    % Padding to have vectors all of the same length
    % See also `padarray` to do circular/symmetric padding (i don't have image toolbox)
    maxlength = max(cellfun(@length, c));
    c = cellfun(@(x)myquickpad(x, maxlength), c, 'UniformOutput', false);
    c = cell2mat(c.').';

    % Compute cross correlation (multichannel case) and keep max value
    % NB1: May also use xcov if signal mean is not important
    % NB2: Normalization at lag = 0
    RMax = max(xcorr(c, 'coeff'), [], 1);

    % Put in R(i,j) format
    RMax = reshape(RMax, [n n]);
%]
end
function [a] = myquickpad(a, maxlength)
%[
    if (length(a) < maxlength)
        a(maxlength) = 0;
    end
%]
end

对于以下信号：

(1) [1 3 8 7 3 4 12]
(2) [3 8 7 3]
(3) [4 12]
(4) [5 3 8 -3 12]
(5) [1 3 8 7 3 4 12]

它返回ith和jth信号之间的以下相关矩阵R(i,j)：

1.0000    0.6698    0.7402    0.8016    1.0000
0.6698    1.0000    0.8012    0.4853    0.6698
0.7402    0.8012    1.0000    0.6587    0.7402
0.8016    0.4853    0.6587    1.0000    0.8016
1.0000    0.6698    0.7402    0.8016    1.0000

一些备注：

• 看起来是连贯的，例如信号 (1) 和 (5) 相同，相关性为 1.0。
• 由于使用了规范化，它认为 (1) 比 (2) 更接近 (3) ...因此应根据您的需要进行审查（参见 xcorrcoef 中的规范化，例如 @paisanco 所示）。李>
• 如果信号幅度的变化并不重要，您可以使用 xcov 代替 xcorr。
• 同样，这是一种粗略的方法，根本没有优化速度/内存，也没有考虑到值已排序的事实，并且可能与您真正想要的不完全一致。