不知道如何解决这个背包问题

Question

我正在尝试解决这个背包问题的例子：

一艘船必须用不同重量的容器包装 并且有不同的价值观。任务是找到最优的 容器（0-9）的组合以获得最大的价值，同时仍然 体重限制在320以内。

我无法弄清楚如何将容器与我目前拥有的代码进行这种最佳组合。我似乎无法获得任何结果来帮助我找到代码中的错误或帮助我了解缺少的内容。

weight = [50, 50, 60, 80, 100, 110, 120, 150, 150, 200]
value    = [80, 80, 60, 50, 100,  90, 100, 170, 200, 240]
n = len(weight)
max_w = 320



def build_items(n):
    res = []
    for i in range(n):
        items = (weight[i], value[i])
        res.append(items)
    return res

def powerset(items):
    res = [[]]
    for item in items:
        newset = [r+[item] for r in res]
        res.extend(newset)
    return res

def kbf(items, max_weight):
    knapsack = []
    best_weight = 0
    best_value = 0
    for item_set in powerset(items):
        set_weight = sum(e[0] for e in item_set)
        set_value = sum(e[1] for e in item_set)
        if set_value > best_value and set_weight <= max_w:
            best_value = set_value
            best_weight = set_weight
            knapsack = item_set
        return knapsack, best_weight, best_value


data = build_items(n)
print(data)
print(powerset(data))
print(kbf(data,max_w))

打印最后一个函数给了我一个非常奇怪的输出。

Answer 1

您应该研究像 scipy.optimize (https://docs.scipy.org/doc/scipy-0.18.1/reference/tutorial/optimize.html) 和 gurobipy 这样的线性编程包，因为您需要代数来正确建模问题，然后实现像单纯形这样的内置算法来解决它。在您的情况下，您需要一个整数线性公式，因为结果是一个整数。因此，例如，您希望最大化价值max(v)，其中 v 是所有选择的项目的总和 maximize sum(vi*xi) for i in range(0,9)，x 是二进制表示该项目是否包含 c1 = x in (0,1)。这个问题的第二个限制是每个项目的相对权重之和必须小于 320，所以c2 = sum(wi*xi) for i in range(0,9) <= 320。要最大化单纯形中的函数，请最小化负函数 (Maximize objective function using scipy.optimize)。

Answer 2

这是一个二维背包问题的经典例子，它可以通过两个嵌套循环和一个 (n+1) x (W+1) 维 DP 表（动态规划）快速解决

DP[x,y] = n x W Table, DP[0,x] = 0 for all x, DP[y,0] = 0 for all y

W = 320
weight = [0....n-1]
value = [0....n-1]

for(i from i=1 to i=n):
    for(w from w=0 to =W):
        if w == 0:
            DP[i,0] = 0
            continue     
        if weight[i] > w:
            DP[i,w] = DP[i-1,w]
            continue
        DP[i,w] = max(DP[i-1,w],DP[i-1,w-weight[i]+value[i])
return DP[n,W]

虽然我不能向您保证，实施这个确切的伪代码会使其正常工作，但这是解决此类问题的一般结构。困难始终在于根据已经进行的基础计算确定哪些变量可用于计算条目。

您可能想查看Wikipedia about knapsack 以获取更多建议，这种确切类型问题的示例代码非常简洁。