确定符号表达式是否为线性函数的算法答案

【问题标题】：Algorithm to determine if a symbolic expression is a linear function确定符号表达式是否为线性函数的算法
【发布时间】：2014-08-25 23:43:20
【问题描述】：

有没有一种简单的方法来检查向量值符号函数是否是线性的？如果是这样，有没有一种简单的方法可以以A*x 的形式表示这个表达式，其中A 是一个符号矩阵，x 是参数（即有没有办法在给定@987654325 的情况下“提取”A @ 和 A*x)?

syms x1 x2 a b c;
fx1 = [a*(x1+x2); b*x1+c*x1];
fx2 = [a*x1/log(x2); x2^2];
A=checklinearity(fx1, [x1 x2]') % should return [a, a; b+c, 0]
A=checklinearity(fx2, [x1 x2]') % should return false

回答：使用内置 MATLAB 函数 equationsToMatrix 可以轻松解决问题。

【问题讨论】：

您是否尝试过进行常规测试：f(x+x) = f(x)+f(y) 和 f(ax)=a*f(x)？
好吧，假设使用了符号工具箱，这应该不是问题。如果您已经进行了分析测试，请按照完全相同的方式进行操作。我的意思是为什么不能这样做：f(x) = x; q = f(ax)-a*f(x); if q~=0, fprintf('not equal'); else,fprintf('equal'); end。这当然是伪代码。

标签： string matlab linear-algebra symbolic-math mupad

【解决方案1】：

您的问题实际上是在询问方程是否是相关变量中线性的多项式。 MuPAD 拥有一整套可用于polynomial algebra 的函数。例如，您可以使用degree 函数。这是一个使用 map 函数在函数列表上对其进行矢量化的示例：

function p = orderOfVars(f,x)
for i = numel(x):-1:1
    p(:,i) = evalin(symengine,['map(' char(f(:)) ',f->degree(f,' char(x(i)) '))']);
end

然后

syms x1 x2 a b c;
fx1 = [a*(x1+x2); b*x1+c*x1];
fx2 = [a*x1/log(x2); x2^2];

y1 = orderOfVars(fx1,[x1 x2])
y2 = orderOfVars(fx2,[x1 x2])

y1 =

[ 1, 1]
[ 1, 0]


y2 =

[ 1, 0]
[ 0, 2]

从这里开始只是测试值的问题：

all(y1(:)<=1)
all(y2(:)<=1)

分别返回真和假。

【讨论】：

是的，但有更简单的方法 - 请参阅上面的 cmets 和编辑。我觉得我不应该问这个问题......
@user1391279：欢迎您回答（甚至接受）您自己的问题。测试这个equationsToMatrix 看看它的效果如何。快吗？如果你给它一个包含一个或多个变量的非线性方程会发生什么——它可以告诉你吗？此功能也可能是 Matlab 的新增功能，因此旧版本的用户可能无法访问它，因此您的一般问题仍然很有价值。
我已经在一定程度上测试了这个功能——它在上述情况下运行良好。如果方程是非线性的，它会抛出一个异常，标识符为 symbolic:sym:equationsToMatrix:NonlinearSystem。

【解决方案2】：

我决定发布并接受我自己的答案。

通常，有几种方法可以找到正确的解决方案：

1)。最简单的解决方案是使用内置的 MATLAB 函数equationsToMatrix()。该函数测试线性，如果表达式是非线性的，则该函数将引发异常，标识符为 symbolic:sym:equationsToMatrix:NonlinearSystem。如果系统是线性的，则函数返回感兴趣的矩阵。

2)。 patrik 提出的解决方案是使用线性度的定义：f(ax)-a*f(x)。这只是测试线性，但一旦确认系统是线性的，就不难推断矩阵了。

3)。 horchler 提出的解决方案是使用多项式代数。

【讨论】：