【问题标题】：How do you factor over a Z field?你如何考虑 Z 场？
【发布时间】：2018-10-07 10:57:34
【问题描述】：

我必须分解多项式，例如

使用 Matlab 或 Mupad 在 Z5 的领域。我尝试了一切，阅读了很多 Matlab 和 Mupad 文档，但仍然找不到，所以我猜这是我不知道的数学，这会帮助我考虑它。

【问题讨论】：

Matlab 有一些函数可用于伽罗瓦域，但并未真正针对此类事情进行优化。相比之下，PARI/GP 专为数论计算而设计，并有一个名为 factormod() 的函数，它可以在有限域上分解多项式。
如果你把所有的系数模5（包括常数系数）减少，你应该可以通过检查很容易地分解。对于这个特定示例，不需要通用分解算法。

【解决方案1】：

不要用大炮杀死蚊子！

你只需要在0、1、2、-2、-1之间找到一个根。

此外，鉴于 x⁵ = x，问题简化为找到 x 使得

 2x + 2x^4 + x^3 + 2x^2 - 3 = 0

由于x ≠ 0，因此x^4 = 1

 2x + x^3 + 2x^2 - 1 = 0

好吧，让我们试试吧！

 1:  2 + 1 + 2 - 1 -> -1
 2: -1 + 3 - 2 - 1 -> -1
-2:  1 - 3 + 3 - 1 ->  0 -> root!

那么多项式可以被 (x - 3) 整除，你可以用商重复这个过程，直到没有根为止。

附录

除以 (x - 3) 我们得到

x⁴ + x² + 1

我们可以表示为

(x² + 1)² - x²

或

((x² + 1) - x)((x^{2 sup> + 1) + x)}

要以编程方式查找 2 阶的因子，只需尝试使用 x² + ax + b for @987654334 @ 和b 在0 和4 之间。

【讨论】：

【解决方案2】：

我找到了一个 mupad 命令来做我需要的事情。

仍然感谢您解释其背后的数学原理。

【讨论】：