简单的 ANN 模型以 tanh(x) 作为激活函数收敛，但它不与leaky ReLu

Question

我正在训练一个简单的 ANN 模型 (MLP)，使用 tanh(x) 作为激活函数，经过一些交互后，它以等于 10^-5 的误差收敛，这是我的完整代码：

import numpy as np
import pandas as pd

# Base de dados a ser treinada
x = pd.DataFrame(
    [[1],
    [2],
    [3]],
    columns=['valores x'])

d = pd.DataFrame(
    [[5],
    [4],
    [3]],
    columns=['valores desejados'])

# Convertendo o dataframe em array e normalizando os valores desejados para ficar entre 0 e +1.
x = x.to_numpy()
d = d/(1.05*d.max())
d = d.to_numpy()


# Derivada de tanh(x) = sech²(x) = 1 - (tanh(x))²
def df(x):
    y = 1 - np.power(np.tanh(x), 2)
    return y

#def rede_mlp(n, x, d, net, k, precisao):

# Construindo a rede de duas camadas 
# net = número de neurônios na primeira camada
# n = taxa de aprendizagem
# precisao = precisão do erro quadrático médio
net=3
n = 0.1
precisao=0.00001
w1 = np.random.rand(net,len(x[0]))
w2 = np.random.rand(1,net)
E_M=1
epocas=0

while E_M>precisao:
    E_M=0
    errofinal=0
    for i in range(0,len(x)):

        # FOWARD
        i1 = np.matmul(w1, x[i].reshape(len(x[i]),1))
        y1 = np.tanh(i1)

        i2 = np.matmul(w2, y1)
        y2 = np.tanh(i2)

        # erro com o valor desejado
        erro = d[i].reshape(len(d[i]),1) - y2

        # BACKPROPAGATION
        delta_2 = erro*df(i2)
        w2 = w2 + n*(np.matmul(delta_2, y1.reshape(1, net)))

        delta_1 = (np.matmul(w2.T, delta_2))*df(i1)
        w1 = w1 + n*(np.matmul(delta_1, x[i].reshape(1, len(x[i]))))

        errofinal = errofinal + 0.5*erro**2

    E_M = errofinal/len(x)
    epocas+=1
    print(E_M)

之后，我尝试将激活函数改为leaky ReLu，但没有收敛。我已经多次更改学习率n，但错误仍然很高。大约是 7.95，这对我的数据来说很大。这是我的尝试：

import numpy as np
import pandas as pd


# Base de dados a ser treinada
x = pd.DataFrame(
    [[1],
    [2],
    [3]],
    columns=['valores x'])

d = pd.DataFrame(
    [[5],
    [4],
    [3]],
    columns=['valores desejados'])

# Convertendo o dataframe em array e normalizando os valores desejados para ficar entre 0 e +1.
x = x.to_numpy()
d = d.to_numpy()


def df(x):
    x = np.array(x)
    x[x<=0] = 0.01
    x[x>0] = 1
    return x

def f(x):
    return(np.where(x > 0, x, x * 0.01))



#def rede_mlp(n, x, d, net, k, precisao):

# Construindo a rede de duas camadas 
# net = número de neurônios na primeira camada
# n = taxa de aprendizagem
# precisao = precisão do erro quadrático médio
net=3
n = 1e-4
precisao=0.0001
w1 = np.random.rand(net,len(x[0]))
w2 = np.random.rand(1,net)
E_M=20
epocas=0

while E_M>precisao:
    E_M=0
    errofinal=0
    for i in range(0,len(x)):

        # FOWARD
        i1 = np.matmul(w1, x[i].reshape(len(x[i]),1))
        y1 = f(i1)



        i2 = np.matmul(w2, y1)
        y2 = f(i2)


        # erro com o valor desejado
        erro = d[i].reshape(len(d[i]),1) - y2


        # BACKPROPAGATION
        delta_2 = erro*df(i2)
        w2 = w2 + n*(np.matmul(delta_2, y1.reshape(1, net)))


        delta_1 = (np.matmul(w2.T, delta_2))*df(i1)
        w1 = w1 + n*(np.matmul(delta_1, x[i].reshape(1, len(x[i]))))

        errofinal = errofinal + 0.5*erro**2

    #E_M = errofinal/len(x)
    E_M = errofinal
    epocas+=1
    print(E_M)

已编辑：

经过一些修改，这是我的ReLu代码（但错误仍然很高~7.77）：

import numpy as np
import pandas as pd


# Base de dados a ser treinada
x = pd.DataFrame(
    [[1],
    [2],
    [3]],
    columns=['valores x'])

d = pd.DataFrame(
    [[5],
    [4],
    [3]],
    columns=['valores desejados'])

# Convertendo o dataframe em array e normalizando os valores desejados para ficar entre 0 e +1.
x = x.to_numpy()
d = d.to_numpy()


def df(x):
    return(np.where(x <= 0, 0.01, 1))

def f(x):
    return(np.where(x > 0, x, x * 0.01))


#def rede_mlp(n, x, d, net, k, precisao):

# Construindo a rede de duas camadas 
# net = número de neurônios na primeira camada
# n = taxa de aprendizagem
# precisao = precisão do erro quadrático médio
net=3
n = 1e-3
precisao=0.1
w1 = np.random.rand(net,len(x[0]))
w2 = np.random.rand(1,net)
E_M=20
epocas=0

while E_M>precisao:
    E_M=0
    errofinal=0
    for i in range(0,len(x)):

        # FOWARD
        i1 = np.matmul(w1, x[i].reshape(len(x[i]),1))
        y1 = f(i1)


        i2 = np.matmul(w2, y1)
        y2 = f(i2)


        # erro com o valor desejado
        erro = d[i].reshape(len(d[i]),1) - y2


        # BACKPROPAGATION
        delta_2 = erro*df(i2)
        delta_1 = (np.matmul(w2.T, delta_2))*df(i1)

        w2 = w2 + n*(np.matmul(delta_2, y1.reshape(1, net)))
        w1 = w1 + n*(np.matmul(delta_1, x[i].reshape(1, len(x[i]))))


        errofinal = errofinal + 0.5*erro**2

    #E_M = errofinal/len(x)
    E_M = errofinal
    epocas+=1
    print(E_M)

Answer 1

您需要为网络添加一个偏差。

您尝试建模的方程是y = 6 - x，如果您可以使用6 作为截距（偏差），这很简单，但我认为如果您不这样做实际上是不可能的。

添加偏差后，许多函数更容易表示，这就是为什么包含一个是标准做法的原因。这个Q&A on the role of bias in NNs解释的比较透彻。

我修改了你的代码以添加偏见，并遵循更典型的命名约定，它对我来说收敛了。

net = 3
n = 1e-3
precisao = 0.0001 

w1 = np.random.rand(net, len(x[0])) 
bias1 = np.random.rand()

w2 = np.random.rand(1, net) 
bias2 = np.random.rand()

E_M = 20 
epocas = 0 

while E_M > precisao: 
    E_M = 0 
    errofinal = 0 
    for i in range(0,len(x)): 
        a0 = x[i].reshape(-1, 1) 
        targ = d[i].reshape(-1, 1) 

        z1 = np.matmul(w1, a0) + bias1
        a1 = f(z1) 

        z2 = np.matmul(w2, a1) + bias2
        a2 = f(z2) 

        erro = a2 - targ

        # BACKPROPAGATION 
        delta_2 = erro * df(z2) 
        delta_1 = np.matmul(w2.T, delta_2) * df(z1) 
        bias2 -= n * delta_2
        bias1 -= n * delta_1
        w2 -= n * np.matmul(delta_2, a1.T)
        w1 -= n * np.matmul(delta_1, a0.T)

        errofinal = errofinal + 0.5*erro**2 

    #E_M = errofinal/len(x) 
    E_M = errofinal 
    epocas += 1 
    if epocas % 1000 == 0:
        print(epocas, E_M) 

我提高了学习率，使其收敛更快。

1000 [[0.14401507]]
2000 [[0.00028834]]

---

早期的错误修复建议

您将导数设置为始终等于 1。

def df(x):
    x = np.array(x)
    x[x<=0] = 0.01
    x[x>0] = 1
    return x

x[x<=0] = 0.01 行将所有非正值设置为正值1/100。之后，每个值都是正的，因为已经为正的值不受影响，而负值或零值刚刚变为正值。所以下一行x[x>0] = 1 将所有导数设置为1。

试试这个：

def df(x):
    return np.where(np.array(x) <= 0, 0.01, 1)