我可以使用 Cholesky 分解生成具有相关性 1 的二元正态随机变量吗？答案

【问题标题】：Can I generate bivariate normal random variables with correlation 1 using Cholesky factorization?我可以使用 Cholesky 分解生成具有相关性 1 的二元正态随机变量吗？
【发布时间】：2014-10-14 16:15:17
【问题描述】：

是否可以使用 cholesky 分解技术设置correlation = 1？

set.seed(88)
mu<- 0
sigma<-1
x<-rnorm(10000, mu, sigma)
y<-rnorm(10000, mu, sigma)
MAT<-cbind(x,y)
cor(MAT[,1],MAT[,2])

#this doesn't work because 1 makes it NOT positive-definite. any number 0 to .99 works
correlationMAT<- matrix(1,nrow = 2,ncol = 2)

U<-chol(correlationMAT)
newMAT<- MAT %*% U 
cor(newMAT[,1], newMAT[,2])  #.....but I want to make this cor = 1

有什么想法吗？

【问题讨论】：

如果你想用cor 1 创建变量，这很容易...x <- rnorm(10000), y <- constant * x 其中constant 是你想要的大于0的任何东西。但是如果有噪音，则相关性将小于 1。
@Gregor - 但我想转换为使用 chol 或类似的东西。
@user3022875 为什么重要的是你怎么做的？ 1是一个病态的案例，但它是一个微不足道的案例。
如果你想使用矩阵乘法，你可以使用MAT %*% M 其中M <- matrix(c(1, 0, constant, 0), 2)，constant > 0。但是，再一次，@ 的第二列是什么并不重要987654330@ 是...如果您的答案取决于第二列，则相关性不会为 1。

标签： r

【解决方案1】：

实际上，您可以通过使用 pivoted Cholesky 分解。

correlationMAT<- matrix(1,nrow = 2,ncol = 2)
U <- chol(correlationMAT, pivot = TRUE)
#Warning message:
#In chol.default(correlationMAT, pivot = TRUE) :
#  the matrix is either rank-deficient or indefinite

U
#     [,1] [,2]
#[1,]    1    1
#[2,]    0    0
#attr(,"pivot")
#[1] 1 2
#attr(,"rank")
#[1] 1

注意，U 具有相同的列。如果我们做MAT %*% U，我们复制MAT[, 1]两次，这意味着第二个随机变量将与第一个相同。

newMAT<- MAT %*% U

cor(newMAT)
#     [,1] [,2]
#[1,]    1    1
#[2,]    1    1

您不必担心两个随机变量是相同的。请记住，这仅意味着它们在标准化后是相同的（至N(0, 1)）。您可以按不同的标准差重新调整它们，然后按不同的平均值移动它们以使它们不同。

Pivoted Cholesky 分解非常有用。我对这篇文章的回答：Generate multivariate normal r.v.'s with rank-deficient covariance via Pivoted Cholesky Factorization 提供了更全面的图片。

【讨论】：