R中的摩尔-彭罗斯矩阵逆答案

【问题标题】：Moore-Penrose matrix inverse in RR中的摩尔-彭罗斯矩阵逆
【发布时间】：2017-04-23 19:04:45
【问题描述】：

我试图在 R 中找到 A 的 Moore-Penrose 矩阵逆矩阵，因为 A 是矩形，然后我遵循代码。我发现的一个逆是 AI，当我计算 AAIA 与 A 不同。

> A = matrix(
+ c(1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1),
+ nrow=5, ncol=4, byrow = TRUE)

> A
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    1    1    1
[2,]    1    1    1    1
[3,]    0    1    1    1
[4,]    0    0    1    1
[5,]    0    0    0    1

> (AA <- t(A) %*% A)
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    2    2    2    2
[2,]    2    3    3    3
[3,]    2    3    4    4
[4,]    2    3    4    5

> (AAI <- ginv(AA))
              [,1]          [,2]          [,3]          [,4]
[1,]  1.500000e+00 -1.000000e+00  5.551115e-16  2.220446e-16
[2,] -1.000000e+00  2.000000e+00 -1.000000e+00 -1.110223e-16
[3,]  1.332268e-15 -1.000000e+00  2.000000e+00 -1.000000e+00
[4,] -2.220446e-16 -1.110223e-16 -1.000000e+00  1.000000e+00

> AI <- AAI  %*%  t(A)

> AI
              [,1]          [,2]          [,3]          [,4]          [,5]
[1,]  5.000000e-01  5.000000e-01 -1.000000e+00  7.771561e-16  2.220446e-16
[2,]  3.330669e-16  3.330669e-16  1.000000e+00 -1.000000e+00 -1.110223e-16
[3,]  2.220446e-16  2.220446e-16 -1.110223e-15  1.000000e+00 -1.000000e+00
[4,] -1.110223e-16 -1.110223e-16  1.110223e-16  2.220446e-16  1.000000e+00`

> A %*% AI %*% A
              [,1]          [,2]         [,3] [,4]
[1,]  1.000000e+00  1.000000e+00 1.000000e+00    1
[2,]  1.000000e+00  1.000000e+00 1.000000e+00    1
[3,]  8.881784e-16  1.000000e+00 1.000000e+00    1
[4,]  2.220446e-16 -7.771561e-16 1.000000e+00    1
[5,] -2.220446e-16 -1.110223e-16 1.110223e-16    1
`

【问题讨论】：

标签： r matrix-inverse

【解决方案1】：

实值矩阵 A 的伪逆 A+ 满足 4 个条件：
a) A A+ A = A
b) A+ A A+ = A+
c) t(A A+) = A A+
d) t(A+ A) = A+ A

代码如下：

A = matrix(
  c(1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1),
  nrow=5, ncol=4, byrow = TRUE)
A
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    1    1    1
[2,]    1    1    1    1
[3,]    0    1    1    1
[4,]    0    0    1    1
[5,]    0    0    0    1

library(MASS)
pinvA <- round(ginv(A),14)
pinvA
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]  0.5  0.5   -1    0    0
[2,]  0.0  0.0    1   -1    0
[3,]  0.0  0.0    0    1   -1
[4,]  0.0  0.0    0    0    1

A %*% pinvA %*% A == A
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] TRUE TRUE TRUE TRUE
[2,] TRUE TRUE TRUE TRUE
[3,] TRUE TRUE TRUE TRUE
[4,] TRUE TRUE TRUE TRUE
[5,] TRUE TRUE TRUE TRUE

(pinvA %*% A %*% pinvA) == pinvA
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
[2,] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
[3,] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
[4,] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE

t(A %*% pinvA) == A %*% pinvA
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
[2,] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
[3,] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
[4,] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
[5,] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE

t(pinvA %*% A) == pinvA %*% A
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] TRUE TRUE TRUE TRUE
[2,] TRUE TRUE TRUE TRUE
[3,] TRUE TRUE TRUE TRUE
[4,] TRUE TRUE TRUE TRUE

【讨论】：