涉及卷积的数值积分的计算答案

【问题标题】：Computation of numerical integral involving convolution涉及卷积的数值积分的计算
【发布时间】：2010-08-26 20:04:16
【问题描述】：

我必须在 R 或者像 Maxima 这样的计算机代数系统中解决以下与卷积相关的数值积分问题。
积分[({k(y)-l(y)}^2)dy]
在哪里
k(.) 是标准正态分布的 pdf
l(y)=integral[k(z)*k(z+y)dz]（标准卷积）
z 和 y 是标量
y 的域是 -inf 到 +inf。
函数 l(.) 中的积分是不定积分。我需要在 z 上添加任何额外的假设来获得这个吗？
谢谢。

【问题讨论】：

我想我明白了。关键元素是两个正态分布的卷积也是一个正态分布，均值和方差加在一起。因此 l(y) 是均值为 0 方差为 2 的正态分布的 pdf。现在整个积分减少为 (2-2^0.5)^2 * Integral[f(z)^2,-Inf,Inf] (可以在 R 中进行数值计算。如果此逻辑有任何错误，请告诉我。
我在 (2-2^0.5)^2 * Integral[f(z)^2,-Inf,Inf] 步骤中发现了上述逻辑的缺陷。积分必须按原样进行评估。这里给出的简化是不正确的。我要感谢@rcs 让我更多地思考这个问题。现在我的 R 输出与 Mathematica 的输出匹配。

标签： r statistics maxima

【解决方案1】：

这是一个来自Mathematica的符号解：

【讨论】：

谢谢。这确实是正确答案。将尝试将其转换为 Maxima 代码。

【解决方案2】：

R 不做符号积分，只做数值积分。有与 Yacas 接口的 Ryacas 包，这是一个可能有帮助的符号数学程序。

请参阅 distr 包以获取有关卷积部分的可能帮助（它会进行卷积，我只是不知道结果是否可以符号积分）。

您可以使用积分函数对来自 distr 的卷积进行数值积分，但所有参数都需要指定为数字而不是变量。

【讨论】：

感谢您提供的有用提示。我会去看看里亚卡斯。 +1 供参考。

【解决方案3】：

作为记录，这是使用 Maxima 5.26.0 解决的相同问题。

(%i2) k(u):=exp(-(1/2)*u^2)/sqrt(2*%pi) $
(%i3) integrate (k(x) * k(y + x), x, minf, inf);
(%o3) %e^-(y^2/4)/(2*sqrt(%pi))
(%i4) l(y) := ''%;
(%o4) l(y):=%e^-(y^2/4)/(2*sqrt(%pi))
(%i5) integrate ((k(y) - l(y))^2, y, minf, inf);
(%o5) ((sqrt(2)+2)*sqrt(3)-2^(5/2))/(4*sqrt(3)*sqrt(%pi))
(%i6) float (%);
(%o6) .02090706601281356

抱歉回复晚了。将其留在这里以防有人通过搜索找到它。

【讨论】：

【解决方案4】：

我尝试在 matlab 中做类似的事情，在其中我对两个随机（瑞利分布）变量进行卷积。 fz_fun 的结果等于 fy_fun，不知道为什么。也许这里有人知道？

sigma1 = 0.45;
sigma2 = 0.29;

fx_fun =@(x) [0*x(x<0) , (x(x>=0)./sigma1^2).*exp(-0.5*(x(x>=0)./sigma1).^2)];
fy_fun =@(y) [0*y(y<0) , (y(y>=0)./sigma2^2).*exp(-0.5*(y(y>=0)./sigma2).^2)];

% Rayleigh distribution of random var X,Y:
step = 0.1;
x= -2:step:3;
y= -2:step:3;

%% Convolution:
z= y;
fz = zeros(size(y));
for i = 1:length(y)
    fz_fun(i) = integral(@(z) fy_fun(y(i)).*fx_fun(z-y(i)),0,Inf); % probability density of random variable z= x+y   
end

【讨论】：