有效地找到一个完美的正方形

Question

如何从函数中找到第一个完美平方：f(n)=An²+Bn+C？给出了 B 和 C。 A,B,C 和 n 总是整数，而 A 总是 1。问题是找到 n。

Example: A=1, B=2182, C=3248

第一个完美正方形的答案是 n=16，因为sqrt(f(16))=196。

我的算法增加 n 并测试平方根是否为整数。

当 B 或 C 很大时，该算法非常慢，因为需要 n 次计算才能找到答案。

有没有更快的方法来做这个计算？有没有一个简单的公式可以得出答案？

Answer 1

您正在寻找的是一般二次丢番图方程特例的整数解¹

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

你在哪里

ax^2 + bx + c = y^2

这样A = a, B = 0, C = -1, D = b, E = 0, F = c 其中a、b、c 是已知整数，而您正在寻找满足此等式的未知x 和y。一旦你认识到这一点，这个普遍问题的解决方案就会很多。 Mathematica 可以做到（使用Reduce[eqn && Element[x|y, Integers], x, y]），您甚至可以找到一个实现here，包括source code 和method of solution 的解释。

¹：您可能会将其识别为conic section。是的，人们一直是studying them for thousands of years。因此，我们对它们的理解非常深刻，您的问题实际上非常有名。研究他们的是immensely deep and still active area of mathematics。