生成 N 个随机单位向量，它们的和等于 0 (Python)

Question

我想在单位球面上（均匀地）生成 N 个随机 3 维向量，但条件是它们的总和等于 0。我的尝试是生成 N/2 个随机单位向量，而另一个只是带有减号的相同向量。问题是，当我试图实现尽可能少的相关性时，我的想法显然并不理想，因为我的一半向量与其对应的对完全反相关。

Answer 1

您的问题并没有真正的解决方案，但是您可以生成一组向量，这些向量的相关性将比您最初的否定它们的解决方案稍微少一些。准确地说，如果你生成N / 2向量并将它们取反，然后将取反的向量围绕它们的总和旋转任意角度，你可以保证总和为零，并且相关性将是比负单位矩阵更复杂的旋转.

import numpy as np
from scipy.spatial.transform import Rotation

N = 10

v1 = np.random.normal(size=(N / 2, 3))
v1 /= np.linalg.norm(v1, axis=1, keepdims=True)

axis = v1.sum(0)
rot = Rotation.from_rotvec(np.random.uniform(2.0 * np.pi) * axis / np.linalg.norm(axis))

v2 = rot.apply(-v1)

result = np.concatenate((v1, v2), axis=0)

这假定N 在所有情况下都是偶数。正态分布是在球面上均匀生成点的一种相当标准的方法：https://mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html。

如果总和正好为零，您可以对齐两组随机的N / 2 向量，使它们的总和彼此相对。

Answer 2

在这段代码中，我尝试通过将theta, phi 转换为x, y, z 来生成从球体中选择的向量。

import numpy as np

def vectorize(theta, phi):
    x = np.cos(phi) * np.cos(theta)
    y = np.cos(phi) * np.sin(theta)
    z = np.sin(phi)
    return np.array([x, y, z])

theta_range = np.arange(0, 2 * np.pi, 0.01)
phi_range = np.arange(-np.pi / 2, np.pi / 2, 0.01)
TH, PI = np.meshgrid(theta_range, phi_range)
whole_map = np.vstack((TH.flatten(), PI.flatten())).T

# Number of vectors: 
N = 100

# Selecting N/2 Vectors first at random
v_selected = np.random.choice(range(whole_map.shape[0]), N // 2)

vectors = np.array([vectorize(whole_map[ind][0], whole_map[ind][1]) for ind in v_selected])

# Doubling up the number of vectors by adding the negate of each vector to the vector set
vectors = np.vstack((vectors, -vectors))


print(vectors.sum(axis=0))
# array([1.94289029e-16, 1.17961196e-16, 1.11022302e-16])
# Almost 0, but isn't zero because of floating number precision when converted to binary

这是在球体上使用radius=1 生成的点的散点图：