计算 2x2 张量的特征向量/值

Question

我正在实现this paper 中描述的系统，但我有点卡住了。我最近才遇到张量/特征值等，如果这有点简单，请原谅！

给定一个 2x2 张量，我如何计算它的主要和次要特征向量？

易于翻译成 C# 的实现的奖励积分 ;)

Answer 1

（我使用的是 MATLAB 矩阵表示法；分号表示“新行”。）

[u;v] 是 [a b; 的特征向量c d] 具有特征值 t if [a b; c d] [u;v] = t[u;v]。这意味着 au+bv=tu 和 cu+bv=tv;即，(a-t)u+bv=0 和 cu+(d-t)v=0。如果这有任何非平凡的解决方案，那是因为这两个方程除了一个常数因子之外是相同的；那么你的特征向量是 [u;v] = [b;t-a]。 （当然，唯一的只有一个常数因子。）

特征值是可能的 t 值；也就是说，除了常数因子之外，这两个方程是相同的。如果矩阵 [a-t b; c d-t]是奇异的，表示其行列式为零，表示(a-t)(d-t)-bc=0，表示t^2 - (a+d)t + (ad-bc) = 0。

所以：求解该方程的特征值，然后按照我上面描述的方式获得特征向量。

特征值可能很复杂（例如，对于旋转）。在这种情况下，您也会得到复杂的特征向量，这是正确的，因为 Av=kv 不能具有 A,v 实数但 k 不是实数。

两个警告。

1. 有些矩阵有两个相等的特征值。它们可能有也可能没有两个独立的特征向量。如果矩阵是单位矩阵的常数倍数——形式为 [k 0; 0 k] -- 那么它确实有两个独立的特征向量，实际上 any 两个独立的向量都可以，因为一切都是一个特征向量。否则，只有一个特征向量，任何依赖于两个特征向量的定理或算法都可能失败。这将发生，例如，使用 [1 k; 形式的“剪切”矩阵。 0 1]。

2. 在大于 2 的维度中，您不希望以这种方式做事。计算特征向量和特征值有很多更好（但更复杂）的方法，并且您无法获得“正确”数量的独立特征向量的方法更广泛。