计算标准正态分布的风险函数

Question

基于Mathematica UUPDE database 中给出的公式 我已经在 R 中绘制了标准正态分布的风险函数。

在一定范围内似乎是正确的；数值较大时会出现数值问题，见附图。以下是完整的 R 代码。

任何 cmets 将不胜感激。

PDF = function(x) {  1/(sqrt(2*pi))*exp(-x^2/2) }
erf <- function(x) 2 * pnorm(x * sqrt(2)) - 1
erfc <- function(x) 2 * pnorm(x * sqrt(2), lower = FALSE)
CDF = function(x) {  1/2 * (1 + erf(x/(sqrt(2)))) }
HF = function(x) { sqrt(2/pi)/(exp(x^2/2)*(2-erfc(-x/sqrt(2)))) }
SF = function(x) { 1 - 1/2 *erfc(-x/sqrt(2)) }

par(mar=c(3,3,1.5,0.5), oma=c(0,0,0,0), mgp=c(2,1,0))
par(mfrow = c(2, 2))

x = seq(from = -4,to = 10,by = .001)

##### PDF
a = PDF(x)
plot(x,a,'l',main='',ylab="PDF",xlab="x")
grid(nx = NULL,ny = NULL,col = "grey",lty = "dotted",lwd = par("lwd"),equilogs = TRUE)

##### CDF
a = CDF(x)
plot(x,a,'l',main='',ylab="CDF",xlab="x")
grid(nx = NULL,ny = NULL,col = "grey",lty = "dotted",lwd = par("lwd"),equilogs = TRUE)

##### HF
a = HF(x)
plot(x,a,'l',main='',ylab="HF",xlab="x")
grid(nx = NULL,ny = NULL,col = "grey",lty = "dotted",lwd = par("lwd"),equilogs = TRUE)

##### SF
a = SF(x)
plot(x,a,'l',main='',ylab="SF",xlab="x")
grid(nx = NULL,ny = NULL,col = "grey",lty = "dotted",lwd = par("lwd"),equilogs = TRUE)

Answer 1

风险函数是密度函数除以幸存者函数。您的代码的问题在于您从表面上理解了这个定义并进行了简单的除法运算；当分子和分母都是非常小的值（大约 1e-300）时，这发生在分布的尾部，这个操作在数值上变得不稳定。对于这类问题，更合适的解决方案是计算分子和分母的对数（它们是中等大小的负数，而不是微小的数字），从对数中减去对数分母-分子，然后取幂。

R 提供了您进行此计算所需的所有部分。您可以通过pnorm(x,lower=FALSE)获取幸存者功能；您可以分别在dnorm() 和pnorm() 中使用log=TRUE 和log.p=TRUE 来获得对数尺度上的密度和幸存者函数。所以：

HF <- function(x) {
   exp(dnorm(x,log=TRUE)-pnorm(x,lower=FALSE,log.p=TRUE))
}
curve(HF,from=-4,to=10)

如果对数密度和对数幸存函数可用，则此策略可以推广到计算任何分布的风险函数（通常对于分布 foo R 提供密度函数 dfoo 和 CDF pfoo可以在上面代替）。