公式上的符号导数

Question

在 R 中，我想要一种方法来获取公式右侧的符号导数，其中可能包括交互项、平方项等。

例如，我希望能够对以下两个 [edit:three] 公式中的每一个求得右手边关于 x 的导数：

y~x+I(x^2)

y~x:z

编辑：y~x*z

我想要一个函数，当输入上述三个公式时，分别返回1+2x、z和1+z。

我尝试了以下方法：

f1<-y~x+I(x^2)
deriv(f1,"x")
## Error in deriv.formula(f1, "x") : Function 'I' is not in the derivatives table

f2<-y~x:z
deriv(f2,"x")
## Error in deriv.formula(f2, "x") : Function '`:`' is not in the derivatives table

有什么方法可以强制 R 将 I(x^2)（或类似地，I(x*z) 等）识别为 x^2（分别为 x*z），x:z 识别为 x *z（在数学意义上）和 x*z（在公式意义上）作为 x+z+x*z（在数学意义上）用于计算导数？

其次，有没有办法从 deriv() 获取输出并将其重塑为看起来像公式的右侧？特别是，我知道 D() 将缓解这个问题并以我想要的形式生成输出（尽管 D() 不能将公式作为输入处理），但是如果我想对多个变量进行导数怎么办？我可以通过对每个我想对其进行导数的变量反复应用 D() 来解决这个问题，但是最好简单地输入所有这些变量的字符串并接收适合放置的输出在公式的右侧。

谢谢！

Answer 1

如果你有一个公式表达式，你可以使用substitute()：

substitute( x~x:z+x:y , list(`:`=as.name("*") ) )
x ~ x * z + x * y

这将允许您将表达式对象传递给substitute，并首先对其进行评估（否则不会发生这种情况，因为substitute 不会评估其第一个参数）：

form1 <- expression(x ~ x : z + x : y)
rm(form2)
form2 <- do.call('substitute' , list(form , list(`:`=as.name("*") ) ))
form2
# expression(x ~ x * z + x * y)

这显示了如何“重塑”RHS，以便通过从列表结构中提取 RHS 来像 ~ x*z 一样处理 y ~ x:z，其中波浪号运算符被视为一个函数，而 LHS 是 @ 中的第二个元素987654329@:

 f2<-y~x:z
 substar <- function(form) { 
            do.call('substitute' , list(form , list(`:`=as.name("*") ) )) }
 f3 <- substar(f2)
 deriv(f3[[3]],"x")
 #----------------------
expression({
    .value <- x * z
    .grad <- array(0, c(length(.value), 1L), list(NULL, c("x")))
    .grad[, "x"] <- z
    attr(.value, "gradient") <- .grad
    .value
})

如果您想使用表达式，可能有助于理解它们是像列表一样组织的，并且操作符实际上是类似 Lisp 的函数：

> Z <- y~x+I(x^2)
> Z
y ~ x + I(x^2)
> Z[[1]]
`~`
> Z[[2]]
y
> Z[[3]]
x + I(x^2)
> Z[[3]][[1]]
`+`
> Z[[3]][[2]]
x
> Z[[3]][[3]]
I(x^2)
> Z[[3]][[3]][[1]]
I
> Z[[3]][[3]][[2]]
x^2
> Z[[3]][[3]][[2]][[1]]
`^`

如果你想查看一个遍历表达式树的函数，几年前在 Rhelp 中构建的独一无二的 Gabor Grothendieck：http://markmail.org/message/25lapzv54jc4wfwd?q=list:org%2Er-project%2Er-help+eval+substitute+expression

Answer 2

deriv（?deriv）的帮助文件说deriv函数中的expr参数是一个“ 表达式或调用或（D 除外）没有 lhs 的公式”。因此，您不能在表达式中使用等式的左侧。

在问题的第二部分，如果我正确理解了您的问题，您可以这样做：假设您的 rhs 是 x^2+y^2 并且您需要使用 x 和 y 对该表达式进行偏导：

myexp <- expression((x^2) + (y^2))
D.sc.x <- D(myexp, "x")
> D.sc.x
2 * x
D.sc.y <- D(myexp, "y")
> D.sc.y
2 * y

一行：

lapply(as.list(c("x","y")),function(a)D(myexp,a))
[[1]]
2 * x

[[2]]
2 * y