如何搜索每对符合条件的最大子集？

Question

我希望这不是一个统计问题...

假设我有一个接口：

public interface PairValidatable<T>
{
    public boolean isValidWith(T);
}

现在，如果我有一个大数组 PairValidatables，我如何找到该数组的最大子集，其中每一对都通过了 isValidWith 测试？

澄清一下，如果一个子集中有三个条目，那么元素 0 和 1 应该通过 isValidWith，元素 1 和 2 应该通过 isValidWith，元素 0 和 2 应该通过 isValidWith。

例子，

public class Point implements PairValidatable<Point>
{
    int x;
    int y;

    public Point(int xIn, int yIn)
    {
        x = xIn;
        y = yIn;
    }

    public boolean isValidWith(Point other)
    {
        //whichever has the greater x must have the lesser (or equal) y
        return x > other.x != y > other.y;
    }
}

The intuitive idea是保留一个Points的向量，添加数组元素0，然后将剩余的每个数组元素与向量进行比较，如果它通过验证与向量中的每个元素，则将其添加到向量中......但问题是元素 0 可能非常严格。例如，

Point[] arr = new Point[5];
arr[0] = new Point(1000, 1000);
arr[1] = new Point(10, 10);
arr[2] = new Point(15, 7);
arr[3] = new Point(3, 6);
arr[4] = new Point(18, 6);

如上迭代将给我们一个仅包含元素 0 的子集，但元素 1、2 和 4 的子集是一个更大的子集，其中每一对都通过了验证。然后，该算法应返回存储在元素 1、2 和 4 中的点。虽然元素 3 和 4 彼此有效且元素 1 和 4 彼此有效，但元素 2 和 3 无效，元素 1 和 3 也无效。包含 1、2 和 4 的子集是比 3 和 4 更大的子集。

我猜想一些树或图算法最适合解决这个问题，但我不确定如何设置它。

解决方案不必是特定于 Java 的，最好可以用任何语言实现，而不是依赖于 Java 内置程序。出于熟悉的原因，我只是在上面使用了类似 Java 的伪代码。

Answer 1

大概isValidWith 是可交换的——也就是说，如果x.isValidWith(y) 那么y.isValidWith(x)。如果您知道的仅此而已，则您有一个 maximum clique problem 的实例，它被称为 NP-complete：

Skiena, S. S. “Clique and Independent Set”和“Clique”。算法设计手册中的 §6.2.3 和 8.5.1。纽约：Springer-Verlag，第 144 和 312-314 页，1997 年。

因此，如果您想要一个高效的算法，您将不得不希望您的特定 isValidWith 函数具有比单纯的交换性更多的结构，并且您必须利用该结构。

针对您的具体问题，您应该能够做到以下几点：

1. 按 x 坐标升序对点进行排序。
2. 在排序列表中查找 y 坐标的longest decreasing subsequence。

每个操作都可以在 O(n*log(n)) 时间内执行，因此您的特定问题可以有效地解决。