MATLAB 求解方程问题答案

【问题标题】：MATLAB Solving equations problemMATLAB 求解方程问题
【发布时间】：2009-11-13 11:22:14
【问题描述】：

我想使用MATLAB 求解这些方程，并且我确定存在非零解。方程式是：

0.7071*x            + 0.7071*z = x 
  -0.5*x + 0.7071*y +    0.5*z = y
  -0.5*x - 0.7071*y +    0.5*z = z

我在 MATLAB 中写的：

[x,y,z]=solve('0.7071 * x+0.7071 * z=x','-0.5 * x+0.7071 * y+0.5 * z=y','-0.5 * x-0.7071 * y+0.5 * z=z');

但结果是 x = y = z = 0。正如我所说，我确信有一个解决方案。有人可以帮忙吗？

【问题讨论】：

由于第一个方程缺少 y，因此手动求解应该不难。你得到了什么？
+/- 符号不会有任何效果。
@Hani：你为什么确定有非零解决方案？
...因为它是第一类旋转矩阵。因此，它有一个特征值为 1 的特征向量。这个特征向量是旋转轴和非平凡解。
MuPAD 还说解决方案是 x=y=z=0，当我要求它找到假设 x 0 的解决方案时，它只会给我一个空的解决方案。

标签： matlab equations

【解决方案1】：

您正在寻找 v=[x;y;z] 和...的 A*v=v 的非平凡解决方案 v...

A =
   0.70710678118655                  0   0.70710678118655
  -0.50000000000000   0.70710678118655   0.50000000000000
  -0.50000000000000  -0.70710678118655   0.50000000000000

您可以将其转换为 (A-I)v=0，其中 I 是 3x3 单位矩阵。要找到一个重要的解决方案，您必须做的是检查 A-I 的零空间：

>> null(A-eye(3))

ans =

   0.67859834454585
  -0.67859834454585
   0.28108463771482

所以，你有一个一维零空间。否则你会看到不止一列。列的每个线性组合都是这个零空间中的一个点，A-I 映射到零向量。所以，这个向量的每一个倍数都可以解决你的问题。

实际上，您的矩阵 A 是第一类旋转矩阵，因为 det(A)=1 且 A'*A=identity.所以它的特征值为1，旋转轴作为对应的特征向量。我上面计算的向量是归一化的旋转轴。

注意：为此，我将您的 0.7071 替换为 sqrt(0.5)。如果舍入误差是一个问题，但您事先知道必须有一个重要的解决方案，最好的办法是对 A-I 进行奇异值分解并选择最右边的奇异向量：

>> [u,s,v] = svd(A-eye(3));
>> v(:,end)

ans =

   0.67859834454585
  -0.67859834454585
   0.28108463771482

这样你可以计算一个向量 v 来最小化 |A*v-v|在|v|=1 的约束下|.|是欧几里得范数。

【讨论】：

非常感谢，这正是我想要的，但坦率地说，我不明白你是怎么得到它的。请你给我一个描述这个想法的参考资料（不是一本完全线性代数书，而是只有这个想法，例如：书中的一章或一节）。
你不明白的到底是什么？
零空间，特征值。为什么 A-I 会给出结果，尽管它乘以 v (A-I)v=0。我在 matlab 中阅读了 null 函数的作用，但我无法完全理解。你为什么只从 svd 结果中取 v 以及 u 和 s 代表什么。我真的很感谢你的描述和你花时间解释，但问题不在于我在没有深入研究这些主题的情况下学习了线性代数，而且我现在（刚刚）没有时间阅读一本完整的线性代数书。带着我的感激。哈尼·阿尔穆斯利..
忘记空值。您应该了解的重要一点是 SVD 是什么以及这 3 个矩阵的属性是什么。我建议您自己对此主题进行一些研究。我想，维基百科是一个好的开始。
基本上，您正在计算矩阵 A 的特征向量：AX=lambda*X，lambda=1。 [V D] = eig(A) 并选择与真实特征值 1 D(3,3) 对应的向量 V(:,3)。这个页面可能有一些解释：en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalue,_eigenvector_and_eigenspace

【解决方案2】：

我认为您不需要使用 solve 函数，因为您的方程是线性方程组。

重铸为矩阵方程：

Ax = B

在你的情况下：

    | -0.2929   0.0      0.7071  |  | x |     | 0 |
    | -0.5     -0.2929   0.5     |  | y |  =  | 0 |
    | -0.5     -0.7071  -0.5     |  | z |     | 0 |

使用 MATLAB 的内置函数来解决它。参见例如MATLAB: Solution of Linear Systems of Equations。

MATLAB的核心就是求解这类方程。

使用FreeMat（一个类似 MATLAB 的开源环境 GPL 许可证； direct download URL 用于 Windows 安装程序）：

   A = [ -0.2929 0.0 0.7071; -0.5 -0.2929 0.5; -0.5 -0.7071 -0.5 ]

   B = [0.0; 0.0; 0.0]

   A\B

   ans =
    0
    0
    0

所以解是：x = 0, y = 0, z = 0

解决方案也可以手动得出。从最后两个方程开始：

    -0.5*x + 0.7071*y +    0.5*z = y
    -0.5*x - 0.7071*y +    0.5*z = z

    0.2929*y =  -0.5*x + 0.5*z
    0.7071*y =  -0.5*x + 0.5*z

    0.2929*y = 0.7071*y

因此 y = 0.0 并且：

    0.7071*y =  -0.5*x + 0.5*z

    0 =  -0.5*x + 0.5*z

    0 =  -0.5*x + 0.5*z

    0.5*x = 0.5*z

    x = z

插入第一个方程：

    0.7071*x + 0.7071*z = x 

    0.7071*x + 0.7071*x = x 

    1.4142*x = x

因此 x = 0.0。当 x = z 时，z = 0.0。

【讨论】：

我写了 A=[0.7071 0 0.7071;-0.5 0.7071 0.5; -0.5 -0.7071 0.5]
[x;y;z]=A*[x;y;z]
但它给出了错误。请注意，右侧是 x,y,z 不是零。请您在 Matlab 中帮我写一下。
我已经用应该在 MATLAB 中运行的代码更新了这个问题。
感谢您的关注，但 B 数组应该是 [x;y;z] 并且您写的方程式与我在问题中写的方程式不同。
-1 你在某个地方搞砸了。有一个不平凡的解决方案。事实上，有无限多，因为您的 Tv=0 系统的矩阵 T 是奇异的。

【解决方案3】：

x = 0, y = 0, z = 0 是正确的解。这个问题可以很容易地手动解决。

【讨论】：

这是一个解决方案。这不是问题所需的解决方案。 Null 给出了非平凡的解决方案。

【解决方案4】：

A = [ 0.7071 0 0.7071 ;
      -0.5 0.7071 0.5 ;
    -0.5 -0.7071 0.5 ];
B = [1 ; 1 ; 1];

AA = A-diag(B)

      -0.2929            0       0.7071
         -0.5      -0.2929          0.5
         -0.5      -0.7071         -0.5

BB = B-B

     0
     0
     0

AA\BB

     0
     0
     0

【讨论】：

【解决方案5】：

朋友们使用MATLAB命令rref(A) for Ax=B....它会给出一个上三角矩阵。然后你可以轻松计算非平凡的解决方案......但请记住，如果 rref(A)=I （如你的情况）那么非平凡的解决方案不存在。祝你好运

【讨论】：