如何确定4个点是否在同一平面上

Question

我从 Kinect 输出的图像中选择 4 个点，因此每个点都有其 (x, y, z) 坐标。

我的目标是确定这 4 个点是否落在同一平面上。

这是我的功能：

    public bool isValidPlane()
    {
        for (int i = 0; i < edgesPoints.Length; i++)
        {
            double absPlaneEquation = Math.Abs(distance -
                (normal.X * edgesPoints[i].X + normal.Y * edgesPoints[i].Y + normal.Z * edgesPoints[i].Z));
            if (absPlaneEquation > 1500) /* 1500 is a tolerance error*/
            {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

normal 也是平面的法线（平面上 2 个向量的叉积，之前是从 4 个所选点中的 3 个计算得出的）到平面并已归一化：

    private void calcPlaneNormalVector()
    {
        if (lastEdgeNumber < 3)
        {
            return;
        }
        Vector3D vec1 = new Vector3D(edgesPoints[0], edgesPoints[1]);
        Vector3D vec2 = new Vector3D(edgesPoints[0], edgesPoints[2]);
        vec2 = vec1.crossProduct(vec2);
        double lengthNormal = Math.Sqrt(Math.Pow(vec2.X, 2) + Math.Pow(vec2.Y, 2) + Math.Pow(vec2.Z, 2));
//normalizing:
        normal = new Vector3D((vec2.X / lengthNormal), (vec2.Y / lengthNormal), (vec2.Z / lengthNormal));
        distance = (-1) * (edgesPoints[0].X * normal.X + edgesPoints[0].Y * normal.Y + edgesPoints[0].Z + normal.Z);
    }

Vector3D是一个类来表示一个向量：

public  class Vector3D
{
    private double x, y, z;

    public Vector3D(Point3D p1, Point3D p2)
    {
        x = p2.X - p1.X;
        y = p2.Y - p1.Y;
        z = p2.Z - p1.Z;
    }
    public Vector3D(double a = 0, double b = 0, double c = 0)
    {
        x = a;
        y = b;
        z = c;
    }

    <get properties for x, y, z >

    public Vector3D crossProduct(Vector3D u)
    {
        double tmpX = 0, tmpY = 0, tmpZ = 0;
        tmpX = y * u.Z - z * u.Y;
        tmpY = z * u.X - x * u.Z;
        tmpZ = x * u.Y - y * u.X;
        return new Vector3D(tmpX, tmpY, tmpZ);
    }
    public double dotProduct(Vector3D u)
    {
        return x * u.X + y * u.Y + z * u.Z;
    }
}

即使选择了 4 个点，我总是得到1300 <= absPlaneEquation <= 1400，这样它们就不会在同一个平面上。

检测这 4 个点是否指向同一平面的最佳方法是什么？

Answer 1

一旦你有了一个平面的法向量，你就可以计算平面的方程：

normal vector components : [A, B, C]
Plane equation           : A·x + B·y + C·z + D = 0;

使用三个点之一（P1、P2 或 P3）来获取法线向量以评估 D，然后简单地检查第四个点（P4）是否满足等式：

 D = - (A·x1 + B·y1 + C·z1)
 A·x4 + B·y4 + C·z4 - (A·x1 + B·y1 + C·z1) = 0

请务必注意，您使用的是浮点算术，因此您无法测试严格相等。您需要定义一个可接受的误差，并根据这样的容差检查第四个点是否符合方程：

 |A·x4 + B·y4 + C·z4 - (A·x1 + B·y1 + C·z1)| < TOLERANCE

更新：这是我为您的问题编写解决方案的方法：

public struct Point3D
{
    public double X { get; }
    public double Y { get; }
    public double Z { get; }

    public Point3D(double x, double y, double z)
    {
        X = x;
        Y = y;
        Z = z;
    }
}

public struct Vector3D
{
    public double X { get; }
    public double Y { get; }
    public double Z { get; }
    public double Magnitude => Math.Sqrt(X * X + Y * Y + Z * Z);

    public Vector3D(Point3D p1, Point3D p2)
        : this(p2.X - p1.X, p2.Y - p1.Y, p2.Z - p1.Z)
    {
    }

    public Vector3D(double x, double y, double z)
    {
        X = x;
        Y = y;
        Z = z;
    }

    public static Vector3D CrossProduct(Vector3D left, Vector3D right)
    {
        double tmpX = 0, tmpY = 0, tmpZ = 0;
        tmpX = left.Y * right.Z - left.Z * right.Y;
        tmpY = left.Z * right.X - left.X * right.Z;
        tmpZ = left.X * right.Y - left.Y * right.X;
        return new Vector3D(tmpX, tmpY, tmpZ);
    }

    public static double DotProduct(Vector3D left, Vector3D right)
    {
        return left.X * right.X + left.Y * right.Y + left.Z * right.Z;
    }
}

public struct Plane3D
{
    private const double TOLERANCE = 0.001;

    private readonly double independentTerm;
    public Vector3D Normal { get; }

    public Plane3D(Point3D p1, Point3D p2, Point3D p3)
    {
        Normal = Vector3D.crossProduct(new Vector3D(p1, p2), new Vector3D(p1, p3));

        if (Normal.Magnitude < TOLERANCE)
            throw new ArgumentException("Specified points do not define a valid plane.");

        independentTerm = -(Normal.X * p1.X + Normal.Y * p1.Y + Normal.Z * p1.Z);
    }

    public bool Contains(Point3D p) => Math.Abs(Normal.X * p.X + Normal.Y * p.Y + Normal.Z * p.Z + independentTerm) < TOLERANCE;
}

注意事项：

1. 我已将Point3D 和Vector3D 更改为结构。这在很大程度上取决于您将如何使用对象，但乍一看，值类型似乎更合适。
2. 我已将值类型设为不可变。可变值类型不是一个好主意；同样，如果您将它们实现为类，这将不是问题，尽管我仍然建议尽可能创建不可变类型。在这种情况下，这样做非常便宜。
3. 你有平面的概念，那么，创建一个类型来表示一个。
4. 我已将向量运算符更改为static 方法。这可能取决于个人喜好。
5. 我在Plane 中实现了TOLERANCE 常量。可能有更好的地方来定义它，只是为了方便。
6. 我对你的命名稍作调整；公共成员应以大写字母开头。