为什么我的 2D IDFT 会产生两倍的预期幅度？ (FFTW)

Question

我正在使用复数到实数的 2D IDFT 将复数信号可视化为图像。我通过手动设置模式来初始化复杂的频域。但是，某些模式产生的实际输出似乎是预期的两倍。

我的代码：

int N = 8;
int logical_width = N / 2 + 1; // Logical width of frequency domain data

double* T = new double[N * N];
fftw_complex* F = (fftw_complex*)fftw_alloc_complex(N * logical_width);

fftw_plan plan = fftw_plan_dft_c2r_2d(N, N, F, T, FFTW_MEASURE);

// Initialize all frequency modes to 0
for (int i = 0; i < N * logical_width; i++) {
    F[i][REAL] = 0.0;
    F[i][IMAG] = 0.0;
}

F[1][REAL] = 16.0; // Set mode k[0, 1]

fftw_execute(plan);

printTime(T, N); // Print time domain to console

printTime()的输出：

IDFT 后信号的幅度似乎为 32。但是，我希望它是 16，因为唯一的贡献模式是 k[0, 1] = 16 + 0i。

为什么会这样？我应该在执行 IDFT 之前以某种方式转换信号吗？

Answer 1

您正在应用 C2R 转换。正如我在my answer to your previous question 中解释的那样，它需要一个共轭对称输入。您提供一半输入，另一半假定为输入的共轭对称。因此，您设置了两种模式，而不是一种，每种模式的幅度为 16。它们一起形成幅度为 32 的正弦曲线。

请注意，FFTW 的逆 DFT 不会归一化。 DFT有不同的定义，有的将归一化放在正变换中，有的将归一化放在逆变换中。 FFTW 根本没有标准化。这导致 IFFT(FFT(f)) = Nf（N 为样本数）。您需要在某处手动规范化以保持等式。最常见的逆变换是归一化的。在您的情况下，这将导致幅度为 32/N 的正弦曲线，这就是您在大多数信号处理教科书中会看到的。例如，参见this PDF 中的第 7 页。