Matlab：对于偶数实函数，FFT复数结果，IFFT实数结果答案

【问题标题】：Matlab: for even real functions, FFT complex result, IFFT real resultMatlab：对于偶数实函数，FFT复数结果，IFFT实数结果
【发布时间】：2018-01-31 00:10:48
【问题描述】：

我正在 Matlab 中测试 FFT 和 IFFT 函数的有效性。

我可以将这些函数的输出与一个众所周知的数学事实进行比较：偶实函数（如以 0 为中心的高斯）的傅里叶变换是另一个偶实函数（FFT[real, 0-中心高斯] = 实数，0 中心高斯）。这个事实应该适用于 FFT 和 IFFT。

首先我制作我的网格：

nx = 256; % grid total pixel count
X = 500; % grid size (um)
dx = X/nx; %  grid spacing (um)
x = linspace(-nx/2,nx/2-1,nx)*dx; % x grid (um)

df = 1/(nx*dx); % spectral grid spacing (1/um)
f = linspace(-nx/2,nx/2-1,nx)*df; % f grid (1/um)

我让我的高斯：

A = 1; % magnitude (arbitrary units) 
x_fwhm = 7; % Full width at half maximum diameter (um)

x0 = x_fwhm/sqrt(2*log(2)); % 1/e^2 radius (um)
y = A*exp(-2*x.^2./(x0)^2); % Gaussian (arbitrary units)

并使用 FFT 应用傅里叶变换：

yFFT = fftshift(fft(fftshift(y)));

或者，使用 IFFT：

yIFFT = fftshift(ifft(fftshift(y)));

绘制结果：

IFFT 做得很完美：yIFFT 是一个纯正高斯。然而，FFT 产生一个复数：存在一个非常小的虚部。这很好，因为在傅立叶变换算法中应该会出现错误，而且无论如何都可以忽略不计。让我困惑的是为什么在IFFT中完全没有错误？ FFT 和 IFFT 算法有那么大的不同吗？

*** 注意：fftshift 和 ifftshift 在这里是等价的，因为我的数组有偶数个元素。

【问题讨论】：

标签： matlab fft ifft

【解决方案1】：

实值时域信号的处理是相当普遍的现象。如此之多，以至于ifft function 具有针对频域中出现的相应对称性的内置处理，如文档的“算法”部分所述：

ifft 函数测试Y 中的向量是否共轭对称。当第 i^th 元素满足 v(i) = conj(v([1,end:-1:2])) 时，向量 v 是共轭对称的。如果Y中的向量是共轭对称的，那么逆变换计算速度更快，输出为实数。

换句话说，ifft 将yIFFT 的虚部构造为正好为 0，因为它检测到您的输入具有共轭对称性。

另一方面，即使是时域信号也相对不常见，Mathworks 认为没有必要在 fft function 中执行类似的测试。也就是说，您仍然可以通过使用ifft 函数计算 FFT 来利用共轭对称性检验

% compute fft(x,[],dim) using ifft:
size(x,dim) * conj(ifft(conj(x),[],dim))

【讨论】：

非常好！这让我想知道这是否适用于其他语言，例如 Python 或 C++ 的 FFTW 库。

【解决方案2】：

你的代码有错误：

yFFT = fftshift(fft(fftshift(y)));

应该阅读

yFFT = fftshift(fft(ifftshift(y)));

ifftshift 函数将原点从中间移到最左边的 bin。 fftshift 将原点从最左边的 bin 移到中间。对于 ~~even-sized~~ 奇数大小的数组，这两个操作相似但不相同。请注意，您的逆变换遇到了同样的问题， ~~但没有显示 SleuthEye 解释的错误。~~ [别管那一点，我想我在那里有点困惑，你的情况应该没有区别。]

还有，

linspace(-nx/2,nx/2-1,nx)

最好写成

-nx/2 : nx/2-1

鉴于nx 是偶数。它更短，但可能由于事物的计算方式，它的数值误差也较小（可能没有区别，但当步长为 1 时，我会尽量避免 linspace。

【讨论】：