MATLAB中离散FFT的“频率”偏移

Question

（免责声明：我曾考虑在 math.statsexchange 上发布此内容，但在那里发现类似的问题已移至 SO，所以我在这里）

上下文：

我正在使用 fft/ifft 来确定随机变量总和的概率分布。 所以例如我有两个均匀的概率分布 - 在最简单的情况下，区间 [0,1] 上有两个均匀分布。

因此，要获得从这两个分布中采样的两个随机变量之和的概率分布，可以计算每个概率密度的傅里叶变换的乘积。 对这个产品做逆 fft，你会得到总和的概率密度。

一个例子：

function usumdist_example()

    x = linspace(-1, 2, 1e5);
    dx = diff(x(1:2));
    NFFT = 2^nextpow2(numel(x));

    % take two uniform distributions on [0,0.5]
    intervals = [0, 0.5;
                 0, 0.5];
    figure();
    hold all;
    for i=1:size(intervals,1)
        % construct the prob. dens. function
        P_x = x >= intervals(i,1) & x <= intervals(i,2);
        plot(x, P_x);

        % for each pdf, get the characteristic function fft(pdf,NFFT)
        % and form the product of all char. functions in Y
        if i==1
            Y = fft(P_x,NFFT) / NFFT;
        else
            Y = Y .* fft(P_x,NFFT) / NFFT;
        end
    end
    y = ifft(Y, NFFT);

    x_plot = x(1) + (0:dx:(NFFT-1)*dx);
    plot(x_plot, y / max(y), '.');

end

我的问题是产生的概率的形状。窝点。功能完善。 但是，x 轴不适合我在开始时创建的x，而是移动了。 在示例中，峰值在 1.5，而应该是 0.5。

如果我换班，例如添加第三个随机变量，或者如果我修改x 的范围。 但我不知道怎么做。

恐怕这可能与我的 x 值为负数有关，而傅立叶变换通常在时间/频率域中工作，而 frequencies < 0 没有意义。

我知道我可以找到例如峰值并将其转移到适当的位置，但看起来很讨厌且容易出错......

很高兴有任何想法！

Answer 1

问题是您的 x 原点是 -1，而不是 0。您希望三角形 pdf 的中心位于 0.5，因为这是统一 pdf 中心值的两倍。但是，正确的推理是：uniform pdf 的中心比最小 x 高 1.25，而三角形的中心在最小 x 之上 2*1.25 = 2.5（即 1.5）。

换句话说：尽管您的原始 x 轴是 (-1, 2)，但卷积（或 FFT）的行为就像是 (0, 3)。事实上，FFT 对您的 x 轴一无所知。它只使用 y 个样本。由于第一个样本的制服为零，因此当您进行卷积（或 FFT）时，宽度为 1 的零间隔被放大到其宽度的两倍。我建议在纸上绘制卷积以查看这一点（绘制原始信号，关于 y 轴的反射信号，替换后者并查看两者何时开始重叠）。因此，您需要在 x_plot 行中进行更正，以补偿零区间宽度的增加：使用

x_plot = 2*x(1) + (0:dx:(NFFT-1)*dx);

然后plot(x_plot, y / max(y), '.') 会给出正确的图表：