格林函数的傅里叶变换 - 2 个信号之间的差异几乎相同

Question

我正在使用 Matlab 对 Green 函数执行 FFT，得到一个我无法解释的奇怪结果。

定义格林函数（G(r)=-1/(4*pi*r）并取 G(0)=1 为避免分歧，我正在做两种不同的采样，一种定义在间隔[-128:1:127] 上，另一种定义在[0:1:255] 上。

对于绘图，我使用fftshift Matlab 函数。我的问题是我在第一个间隔 ([-128:1:127]) 得到了一个意外的 FFT，如下图所示：

这里是这个结果的代码 sn-p ：

% FFT with Green Function on -128:1:127
t=-128:1:127;
y = 1./(4*pi*sqrt(t.^2));
y(129) = 1.0;        %%% to avoid divergence with y=1/(4*pi*0)=inf %%%
title('Plot of 1D Green function'); 
z=fftshift(fft(y));
figure(1);
plot(real(z)); %%%% Original signal is real and symetric ==> So its FFT has to be real; I only select the real part for killing small imaginary parts and having a nice plot %%%%
%plot(abs(z));
title('Plot of 1D FFT Green function on -128:1:127');

现在，我采用第二个间隔 [0:1:255] 并应用 FFT。下图：

在生成此图的代码 sn-p 下方：

% FFT with Green Function on 0:1:255
t=0:255;
y = 1./(4*pi*t);
y(1) = 1.0;      %%% to avoid divergence with y=1/(4*pi*0)=inf %%%
figure(3);
plot(y);
title('Plot of 1D Green function on 0:1:255'); 

z=fftshift(fft(y));
figure(4);
plot(real(z));
%plot(abs(z));
title('Plot of 1D FFT Green function on 0:1:255');

我不明白这个结果，因为在第二种情况下，信号是真实的但不是对称的：所以 FFT 也有虚部（我们不能忽略），然后我们只有厄米特对称（X(-f)=[X(f)]^* )。

第二个数字是我所期望的，即TF(G)(k) = -1/k^{2} 形式的曲线，但我无法解释这个结果。明知道我只取实部，这还是比较麻烦的。

我更愿意为第一种情况（第一个代码 sn-p）获得第二个数字，因为 Green 函数具有实数和轴（x = 0）对称性。

我们如何解释这种差异？

我让你注意到，如果我在第一个代码 sn-p 中输入 plot(abs(z)) 而不是 plot(z)，我会得到与情况 2 相同的曲线，即预期曲线：这是什么意思？

这两个结果之间存在差异的原因是什么？以及如何使用第一个代码 sn-p 找到好的曲线？

Answer 1

DFT（或 FFT）认为时间原点是第一个输入样本。您的第一个 sn-p 与第二个相同，只是

1. 存在时间偏移。
2. 第二个 sn-p 中缺少一半的时域尖峰。

时间位移对应于乘以频率轴上的振荡项，这是您在第一种情况下得到的。

如果您绘制两个信号y，您会发现在第二种情况下，大约一半的信号丢失了。在第二种情况下，尖峰的左侧应该出现在大约250 的时间，但它不存在；而在第一种情况下是。这也引入了一些差异，特别是在第二种情况下频谱的幅度较小；并且光谱形状也可能受到影响。

要获得具有第一个 sn-p 的“良好”频谱（这是在时域中正确定义尖峰的两个尾部），只需在时域中应用 fftshift。这将给出一个信号，它应该在第一次采样时居中，并且带有尖峰的两半。

% FFT with Green Function on -128:1:127
t=-128:1:127;
y = 1./(4*pi*sqrt(t.^2));
y(129) = 1.0;        %%% to avoid divergence with y=1/(4*pi*0)=inf %%%
y = fftshift(y); %// THIS LINE ADDED
title('Plot of 1D Green function'); 
z=fftshift(fft(y));
figure(1);
plot(real(z)); %%%% Original signal is real and symetric ==> So its FFT has to be real; I
% only select the real part for killing small imaginary parts and having a nice plot %%%%
%plot(abs(z));
title('Plot of 1D FFT Green function on -128:1:127');