在列表列表中查找最长递增子序列的最有效方法

Question

我在做一些信号分析，其中一部分是寻找最长的子序列

我有如下字典：

sequenceDict = {
    0: [168, 360, 470],
    1: [279, 361, 471, 633, 729, 817],
    2: [32, 168, 170, 350, 634, 730, 818],
    3: [33, 155, 171, 363, 635, 731, 765, 819],
    4: [352, 364, 732, 766, 822],
    5: [157, 173, 353, 577, 637, 733, 823, 969],
    6: [158, 174, 578, 638, 706, 734, 824],
    7: [159, 175, 579, 707, 735],
    8: [160, 464, 640, 708, 826],
    9: [173, 709, 757, 827],
    10: [174, 540, 642, 666, 710],
    11: [253, 667, 711],
    12: [254, 304, 668],
    13: [181, 255, 831],
    14: [256, 340, 646, 832],
    16: [184, 416], 
    17: [417], 
    18: [418], 
    19: [875], 
    20: [876], 
    23: [217], 
    24: [168, 218, 880], 
    25: [219, 765, 881], 
    26: [220, 766], 
    27: [221], 
    28: [768], 
    29: [3, 769], 
    30: [344, 476, 706]}

这些本质上总是另一个数组的排序索引，我想找到最长的递增序列（就像longest increasing subsequence），通过从每个键中顺序选择一个数字（键2紧跟在键1之后，所以开），例如， 从键 0 和 1 来看，[360, 361] 是一个序列，而 [470, 471] 是另一个序列。 我称这些递增序列，因为这些数字应该严格增加 1。

我看过patience sorting之类的东西，但由于这个问题略有不同，并且还有一个序列树，是否有任何已知的python实现，或者除了生成所有可能的其他有效方法来自这个 dict 的序列，然后运行耐心排序？

Answer 1

我只会实施“蛮力”解决方案...

1. 保留“当前序列”列表，最初为空
2. 为每个键检查是否有任何当前序列可以扩展一步。增加序列更新也是迄今为止最好的解决方案。
3. 对于任何未用于扩展序列的数字，开始一个长度为 1 的新序列

Python 提供了set，这可能是一个合理的选择……这是一个示例实现：

best = None
current_sequences = set()
last_key = None
for key in sorted(sequenceDict.keys()):
    data = set(sequenceDict[key])
    new_sequences = set()
    if last_key == key-1:
        # no gap in key value, may be some sequence got extended
        for val, count in current_sequences:
            if val+1 in data:
                # found a continuation, keep this sequence
                new_sequences.add((val+1, count+1))
                data.remove(val+1)
                if best is None or count+1 > best[0]:
                    # we've got a new champion
                    best = count+1, val+1, key
    # add new sequences starting here
    for v in data:
        new_sequences.add((v, 1))
        if best is None:
            best = 1, v, key
    current_sequences = new_sequences
    last_key = key

一个棘手的部分是，如果键中有间隙，则不能扩展序列，这就是 last_key 的用途。

复杂度应该是O(input_size × average_number_of_sequences)。我只是一种直觉，但我的猜测是你不能低于这个。我很想使用value - key 将一个常数值与每个序列相关联...但是这不会检测到“间隙”（即键 1 中的值 100 和键 3 中的值 102，但 without 键 2 中的 101)。

输入问题后，解决方案是(7, 735, 7)，意思是一个 7 元素序列，在键 7 处以值 735 结尾。

Answer 2

与@6502 的解决方案相比，这个解决方案不仅保持最佳解决方案，而且还跟踪每个递增的子序列，如果这更有帮助的话。

这个想法类似于滑动窗口的方法。您从第一个列表开始，更新 currentHotItems 和 globalHotItems 字典，然后查看第二个列表并再次更新字典，等等。

# fill missing indexes in the dictionary:
for i in range(min(sequenceDict), max(sequenceDict)):
    if i not in sequenceDict:
        sequenceDict[i] = []

# get only lists, ordered:
sortedItems = map(lambda x:x[1], sorted(sequenceDict.items(), key=lambda x:x[0]))    
globalHotItems = {} # (value, startIndex): length
currentHotItems = {} # value: length

for i in range(len(sortedItems)):
    updatedHotItems = {} # updated value: length
    for item in sortedItems[i]:
        if (item - 1) in currentHotItems:
            updatedHotItems[item] = currentHotItems[item-1] + 1
        else:
            updatedHotItems[item] = 1

    deadSet = set(currentHotItems.keys()) - \
            set(updatedHotItems.keys() + [key - 1 for key in updatedHotItems.keys()])

    for item in deadSet:
        globalHotItems[ (item-currentHotItems[item]+1, i-currentHotItems[item]) ] = currentHotItems[item]

    currentHotItems = updatedHotItems

print sorted(globalHotItems.items(), key=lambda x:x[1])[-1]

globalHotItems 是包含结果的字典。键是 (value, startIndex)，值是长度。

例如globalHotItems中的最后4项：

print sorted(globalHotItems.items(), key=lambda x:x[1])[-4:]

是：

[((157, 5), 4), ((217, 23), 5), ((706, 6), 6), ((729, 1), 7)]

这意味着最好的解决方案是长度为 7 并且从 index=1 列表中以 729 开始。最好的第二个解决方案是长度为 6 并从 index=6 列表中以 706 开始，等等。

复杂性：

我认为复杂性应该再次出现：O(input_size × average_number_of_sequences)